安徽省马鞍山市外国语学校　司擎天

根据《课程标准（2011年版）》修订的教科书已于2012年秋季开始使用。新教科书有许多让人耳目一新的内容，特别是“综合与实践”课程内容的设置，引起了教师的广泛关注。《课程标准（2011年版）》指出：“要使学生能充分、自主地参与‘综合与实践’活动，选择恰当的问题是关键。这些问题既可来自教科书，也可以由教师、学生开发。提倡教师研制、开发、生成出更多适合本地学生特点的且有利于实现‘综合与实践’课程目标的好问题。”上海科学技术出版社2013年1月出版的《义务教育教科书　数学　七年级下册》，以“排队问题”为素材，设计的“综合与实践”活动就是一个很好的范例。

我们在日常生活和生产实践中经常遇到排队现象。例如上下班搭乘公共汽车、旅客到售票处购买车票等，常常出现排队和等待现象。除了上述有形的排队，还有大量“无形”的排队现象，而且排队的不一定是人，也可以是物。例如生产线上的原料、半成品等待加工，因故障停止运转的机器等待工人修理等。面对排队、等待的拥挤现象，人们总是尽量设法减少排队。通常的做法是增加服务设施（例如公共汽车、售票点等），但是增加的数量越多，人力、物力的支出就越大，甚至会出现空闲、浪费。如果服务设施太少，顾客排队等待的时间就会很长，对顾客带来不便。于是，我们需要对顾客排队时间的长短与服务设施规模的大小进行研究，尽量做到既保证一定的服务质量指标，又使服务设施费用经济合理，这就是排队论（一门研究拥挤现象的科学）所要研究解决的问题。由于排队论的深入研究需要概率论的知识，这里只讨论最简单的排队问题——常服务时间的“排队问题”。

某服务机构开设了一个窗口办理业务，并按顾客“先到达，先服务”的方式服务，该窗口每2 min服务一位顾客。已知当窗口开始工作时，已经有6位顾客在等待，在窗口开始工作1 min后，又有一位“新顾客”到达，且预计以后每5 min都有一位“新顾客”到达。设e1，e2，e3，e4，e5，e6表示当窗口开始工作时已经在等待的6位顾客，c1，c2，…，cn表示在窗口开始工作以后，按先后顺序到达的“新顾客”（假设e1，e2，e3，e4，e5，e6的到达时间为0）。

（1）哪一位是第一个到达服务机构而不需要排队的顾客？求出他的到达时间。

（2）在第一位不需要排队的顾客到达之前，该窗口已经服务了多少位顾客？为这些顾客服务共花费了多长时间？

（3）平均等待时间是一个重要的服务质量指标，为考察服务质量，问排队现象消失之前，所有顾客的平均等待时间是多少？

解法一：列表法。

由于在窗口开始工作1 min后，又有一位“新顾客”到达，且预计以后每5 min都有一位“新顾客”到达。即c1到达时，窗口已工作了1 min；c2到达时，窗口已工作了6 min；c3到达时，窗口已工作了11 min……因为该窗口每2 min服务一位顾客，所以，若服务前e1，e2，e3，e4，e5，e6，c1，c2，c3，c4，c5，c6，…都已在窗口前排队等待，则窗口需要依次经过0 min，2 min，4 min，6 min，8 min，10 min，12 min，14 min，16 min，18 min，20 min，22 min…方可服务到相应的顾客，见下表。

（1）由于c1到达时，窗口已工作了1 min，所以c1只需等待12－1＝11（min）；c2到达时，窗口已工作了6 min，所以c2只需等待14－6＝8（min），同理可求得c3，c4等待的时间分别为5 min，2 min。窗口经过20 min服务到c5，而c5需要21 min方可到达窗口，所以c5是第一位到达服务机构而不需要排队的顾客，到达时间是21 min，服务开始时间是（20＋1）min，顾客等待时间见下表。

（2）由上表可知，在第一位不需要排队的顾客c5到达之前，该窗口已经服务了e1，e2，e3，e4，e5，e6，c1，c2，c3，c4这10位顾客；由第一张表可知，为这些顾客服务一共花费了20 min。

（3）由上表可知，排队现象消失之前，所有顾客的平均等待时间是

解法二：图象法。

用两条数轴（单位：min）分别表示顾客的到达时间、开始得到服务的时间和离去的时间（这里假定顾客e1～e6是在t＝0时到达的），如图1所示。

图　1

图1中用t＝0表示服务机构开始工作之时，t＝1时c1到达，以后每5 min到达一位顾客。e1在t＝0时开始得到服务，服务2 min后，t＝2时e1离去，同时e2开始得到服务，t＝4时e2离去，同时e3开始得到服务……当t＝20时，c4离去，排队现象就此消失，从服务机构开始工作起直到没有排队现象所花费的时间是20 min。即c5是第一位不需要排队的顾客，在他到达之前，该窗口已经服务了10位顾客，为这些顾客服务共花费了20 min。

由图1可知，从服务机构开始工作起计算时间，顾客e1～e6和c1～c4的等待时间为下表。

实际上，我们也可以直接计算在排队现象消失之前各位顾客的等待时间。由于每2 min服务一位顾客，所以e1，e2，e3，e4，e5，e6等待时间分别为0 min，2 min，4 min，6 min，8 min，10 min。c1等待的时间是e6离去的时间6×2＝12（min）减去c1到达服务机构时，服务机构已经工作的时间，即12－1＝11（min）。c2等待的时间是c1等待的时间加上服务所需的时间（2 min）减去c2比c1晚到的时间（5 min），即11＋2－5＝8（min）。同样，c3等待的时间是c2等待的时间加上服务所需的时间（2 min）减去c3比c2晚到的时间（5 min），即8＋2－5＝5（min），e4等待的时间是5＋2－5＝2（min）。因此，c5之前的10位顾客e1～e6和c1～c4的平均等待时间是(www.daowen.com)

对于这类排队问题，虽然可用上述方法求解，但是当顾客数量较大时就相当麻烦。下面我们将已经在等待的6位顾客e1～e6改为e1～e10的10位顾客，再给出另一种解法。

解法三：代数法。

设上述的服务机构开始工作之时，已经有10位顾客在等待，cn＋1为第一个到达后不需要排队的顾客（即cn离去，排队现象消失），问：

（1）在cn＋1到达之前，该服务机构已经服务了多少位顾客？为这些顾客服务共花费了多少时间？

（2）在cn＋1到达时，服务机构已经开始工作了多少时间？

（3）求n的范围。

（4）求从服务机构开始工作起到排队现象消失所花费的时间，以及排队现象消失之前顾客的平均等待时间。

解　（1）已经服务了（n＋10）位顾客，为这（n＋10）位顾客服务共花费［（n＋10）·2］min。

（2）由于每5 min有一位“新顾客”到达，并且窗口开始工作1 min后，第一位“新顾客”c1才到达，所以当cn＋1到达时，服务机构已经开始工作了（n·5＋1）min。

（3）因为cn＋1为第一个到达后不需要排队的顾客，所以在cn＋1到达之前，该服务机构为顾客服务所花费的时间应小于或等于在cn＋1到达时，服务机构已经开始工作的时间。即（n＋10）·2≤n·5＋1，得≤n。由于n是正整数，而且我们要求的是第一个到达后不需要排队的顾客。因此，我们所求的n是满足n≥的最小正整数，显然，n＝7。

（4）服务机构开始工作起到排队现象消失所花费的时间为（7＋10）·2＝34（min），排队现象消失之前顾客的平均等待时间为

在排队论中，我们把要求服务的对象统称为“顾客”，而把提供服务的人或机构统称为“服务员”，不同的顾客与服务员组成各式各样的服务系统。在排队中，顾客到达的时间和服务员提供服务的时间长短通常是不规则的。例如在超市中，到达收银台前要求付款的顾客通常是不规则的，有时来得多些有时少些，而且有的顾客购物多些有些少些，因此所需服务的时间也是不同的。这里讨论的是最简单的排队问题，在整个服务系统中只有1个服务员，顾客到达的速率是常数，服务时间也是常数。问题虽然简单，却有助于了解排队论的起源与基本思想。设S为服务机构服务1个顾客所花费的时间，T为相继两个新顾客到达所间隔的时间，为了使排队现象消失，必须T＞S，因为如果T＜S，那么排队等待的顾客人数将会不断增加。如果T＝S，那么排队等待的顾客人数将保持为工作开始之时已经在等待的顾客人数。

如果我们假设服务机构单位时间内服务a个顾客，单位时间内有b个顾客到达服务机构等待服务，那么这种常服务时间的“排队问题”又类似于牛顿提出的“牛吃草问题”，原有的草量相当于工作开始时已经在等待的顾客人数，牛单位时间吃草量相当于服务机构单位时间内服务的顾客数a，单位时间长出的草量相当于单位时间内到达服务机构等待服务的顾客数b。显然a＞b，草量（顾客）不断减少；a＜b，草量（顾客）不断增加；a＝b，草量（顾客）保持原有的量不变。

排队论起源于电话系统交换线路问题，丹麦工程师埃尔朗（A．K．Erlang，1878—1929）对电话交换台的排队现象进行了研究，于1909年解决了哥本哈根电话公司所遇到电话交换台的线路拥挤问题，发表了第一篇排队论在电话服务系统中应用的论文。其后20年间，他发表了一系列有关排队论的论文，这些理论成为排队论早期发展的基础。20世纪30年代苏联数学家А．Я．欣钦把处于统计平衡的电话呼叫流称为最简单流，瑞典数学家巴尔姆又引入有限后效流等概念和定义。他们用数学方法深入地分析了电话呼叫的本征特性，促进了排队论的研究。20世纪50年代初，美国数学家关于生灭过程的研究、英国数学家D．G．肯德尔提出嵌入马尔可夫链理论，以及对排队队形的分类方法，为排队论奠定了理论基础。在这以后，L．塔卡奇等人又将组合方法引进排队论，使它更能适应各种类型的排队问题。20世纪70年代以来，人们开始研究排队网络和复杂排队问题的渐近解等，成为研究现代排队论的新趋势。

参考文献

［1］新时代数学编写组．义务教育教科书　数学　七年级下册［M］．上海：上海科学技术出版社，2013：38-40．

［2］中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2011年版）［M］．北京：北京师范大学出版社，2012：49．