a，b，c分别是一个锐角三角形的三边，记

1．证明f（a，b，c）≤

（a－b）2≥0，

当且仅当a＝b时等号成立。

（b－c）2≥0，

当且仅当b＝c时等号成立。

（c－a）2≥0，

当且仅当c＝a时等号成立。

由均值不等式知：

当且仅当a＝b时等号成立。

当且仅当b＝c时等号成立。

当且仅当c＝a时等号成立。

因此

当且仅当a＝b＝c时等号成立。

结论得证。

2．证明

因为在锐角△ABC中，0＜A，B，C＜

0＜cos A，cos B，cos C＜1，

0＜cos（A－B），cos（B－C），cos（C－A）≤1，

即

cos A cos（B－C）≤cos A。

又∵　（cos A＋1）［cos（B－C）＋1］＝cos A cos（B－C）＋cos A＋cos（B－C）＋1，(www.daowen.com)

而

cos A cos（B－C）＋cos A＋cos（B－C）＋1≤2cos A＋cos（B－C）＋1，

即0＜（cos A＋1）［cos（B－C）＋1］≤2cos A＋cos（B－C）＋1，

当且仅当B＝C时等号成立。

即

同理，可得

0＜（cos B＋1）［cos（A－C）＋1］≤2cos B＋cos（A－C）＋1，

当且仅当A＝C时等号成立。

同理，可得

0＜（cos C＋1）［cos（A－B）＋1］≤2cos C＋cos（A－B）＋1，

当且仅当A＝B时等号成立。

由上面三个不等式，可知

即

即

当且仅当A＝B＝C时等号成立。

即证≤f（a，b，c），当且仅当a＝b＝c时等号成立。

由引理2，可得

综上，

当且仅当a＝b＝c时等号成立。

结论得证。