1．唤起学生已有的数学活动经验

美国教育心理学家戴维·奥苏贝尔曾说：“影响学习的最重要的因素是学生已经知道了什么，要根据学生的原有知识状况进行教学。”由上面的案例可以发现，学生的头脑并不是一张白纸，他们在此前数学学习中已积累一些数学活动经验、解题心得、模式图形等，在遇到新问题、新概念时，启发、引导学生联系、联想到已有经验，是很关键的。这既是对话教学的需要，也是促进学生对旧情境、新问题的深刻理解。特别是基于“学生已经知道了什么”而预设好的问题才能有效唤起学生已有的数学活动经验。这里可提及美国学者巴拉布与达菲对预设“好的问题”的建议：“教师的工作是通过向学生问他们应当自己问自己的问题来对学习和问题解决进行指导，这是参与性的，不是指示性的；其基础不是要寻找正确答案，而是针对专业的问题解决者当时会向自己提出的那些问题。”［2］这就是指，能够提出恰当的问题正是唤起数学活动经验的有效保证。

2．引导学生回顾旧知识并学会追问

通过预设“好的问题”引起学生对此前数学学习经验的回顾之后，教师需要把握时机展开追问。像案例1中，通过追问小杭同学的理解，出现了只知用公式而忘了公式的理由的现象，也就自然地展开了继续证明的教学进程。还有，如在案例1“教学后记2”中学生周末跟小学老师交流后提及“小学讲那个公式时也说过理由，是我忘了，只记住了结论”。即使学生记得小学证明的理由，就小学“说点理”的要求，也不会如初中阶段这样“从头说起”，即像案例1中的理由证明需要用到“平行线间距离处处相等”，而这个性质在小学也只能是“混而不错”的“直观约定”，直接加以利用。而“平行线间距离处处相等”，教学中往往安排在平行四边形的性质之后加以证明。这样一路上追，自然能帮助学生在回顾旧知识的情况下，生成新知识，感受到在不同学段所学数学知识的“混而不错”现象。此外，关于有效追问的前提还可提及日本著名教育学者佐藤学的观点：“教师的关键不在于说而在于听。我也认识到当今世界很多优秀的教师，大家都认为教师的工作重心是倾听。对学生来讲同样如此，只有更好地倾听，才能达到更好的学习效果。我们需要明确的是‘互相学习’和‘互相说’是完全不同的两件事。”［3］可见，课堂教学中的互相倾听更需要教师的耐心，联想到一些初任教师由于片面追求课堂的高效或者教条执行某种教学模式，对学生的发言缺乏耐心的倾听，当学生说错、表达不规范时，往往迫不及待地打断，由自己帮助修正、优化，这样看似高效了，但学生学习的实效何在呢？(www.daowen.com)

3．思辨“混而不错”就是追求“深刻理解”

在上文的3个案例中，情境在小学阶段都能找到，但是初中阶段仍然对其进行研究，在这种情况下，解题反思或点评阶段引导学生对“混而不错”的思辨是有积极意义的。事实上，对“混而不错”的思辨就是追求问题的“深刻理解”，也就是指旅美独立学者马立平博士在名著《小学数学的掌握与教学》中指出的“深刻理解”，她认为“数学知识的深刻理解（PUFM）”［4］是“能够从深度、广度和完整度方面深刻理解”，并进一步指出深刻理解的教与学常常有四种特性，即“关联度、多角度、基本思想、纵向融会贯通”。如在案例2中，学生在变式练习三个圆面积关系后，联系到此前学过的勾股定理、勾股数组，就是追求了数学知识的关联度、多角度、纵向融会贯通；而在案例3中，学生通过对小学正比例关系的情境问题的再认识，达到了对正比例关系、正比例函数的深刻理解。