苏步青先生有一句名言：“中小学教材可以混而不错。”［1］“不错”是大前提，关注的是大方向、本质。“混”是放松严格性的要求，现阶段讲不清楚的问题用写意的方式说明，但仍不失其真。在上面的“案例1”及“教学后记”的师生对话中，笔者想说的正是这种“混而不错”现象。事实上，这样的教学案例在初中阶段是很多的，为了抛砖引玉，举例如下。

案例2　在一次数学作业中，笔者曾设计下题：

已知半径为r1的圆的面积是半径为r2和r3的两个圆的面积之和。

（1）当r2＝2，r3＝3时，求r1的值。

（2）当r1＝5，r2＝4时，求r3的值。

（3）当r1＝13，r3＝12时，求r2的值。

（4）练习上面几题后，你发现什么规律？能解释其中的道理吗？

教学后记：不少学生在回答第（4）问题时，都提及“勾股定理”“勾股数组”等，笔者都给予正确的评价。办公室有同事却据理力争：“回答勾股定理是正确的，但是回答勾股数组恐怕有问题，因为勾股数组一定是正整数组。”笔者却表达了不同的观点：“就这道题目而言，是想训练二次根式的化简，学生在练习之后联想到勾股定理、勾股数组，值得鼓励，不必囿于所谓严谨的‘勾股数组’的约定。就让他们‘混而不错’吧。订正时可以指出来，或者让学生在勾股数组上加个引号。”

案例3　下面是笔者最近开设的一次函数教研课的情境引入片断。

由情景1（图3）提出如下问题：

问题1：因为杯子的底面积一定，所以水的体积随着高度的变化而______。水的高度增加，体积也相应______；水的高度降低，体积也相应______。如果水的体积和高度的比值一定，我们就说体积和高度成______关系，这时的体积和高度被称为成______的量。

问题2：你能结合情境1读懂并写出下面“常量”和“变量”的定义吗？(www.daowen.com)

在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为______。有些量的数值是始终不变的，我们称它们为______。

由情景2（图4）提出如下问题：

问题3：求y＝______。

问题4：你能结合情境，读懂函数的概念吗？请将你的理解写在情境2空白处。

图　4

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就称x是自变量，y是x的函数。

问题5：这新来的概念真“亲切”，能具体说说吗？

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一般地，形如y＝kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。

教学后记：初中阶段引入正比例函数有多种方式，笔者从小学教科书中寻找到正比例关系的情境，并加以开发利用，预设了上述的情境引入，一方面是加强中小学数学的衔接教学，另一方面也是让学生感受到日常生活中的一些现象可以用新的观点、概念或工具加以研究，就上述体积与高度的变化关系来说，小学阶段通过实验现象的观察只是在整数范围内发现并定义了正比例关系，而初中阶段引入变量与函数后，可以对问题的认识更进一步，这时，k不仅可以不是整数，而且k还可以是负数。