这是一次习题课上的教学片断。

案例1　例题：正方形ABCD与正方形CEFG的位置如图1所示，点G在线段CD或CD的延长线上。分别连接BD，BF，FD，得到△BFD。

（1）在图1中，若正方形CEFG的边长分别为1，3，4，且正方形ABCD的边长均为3，请通过计算填写下表：

（2）若正方形CEFG的边长为a，正方形ABCD的边长为b，猜想△BFD的面积大小，并结合图1（c）证明你的猜想。

图　1

呈现这道例题后，不少同学都在埋头求解，不到30 s，学生小杭就东张西望，似乎在找人确认他的答案，我走近他后，发现他的答案全对！于是我示意大家停笔，听小杭的解释。

小杭：我没有计算，我用的是小学里一个公式，△BFD的面积等于正方形ABCD面积的一半，直接写答案！

教师：不错！小学里的公式是怎么来的？

小杭：是老师直接告诉我们的，让我们解题时可以直接用！(www.daowen.com)

教师：噢，那你有没有思考过这个公式可以推理或证明吗？

小杭：没有。

教师：那让我们一起来证明吧，看看小学里老师说的一个公式到了八年级可以怎样推理证明。

接着经过师生的分析，如图2所示，连接CF，由正方形性质可知∠DBC＝∠FCE＝45°，∴　BD∥CF。　∴　△BFD与△BCD在BD边上的高相等。∴　S△BFD＝S△BCD＝。也有学生提及可根据关系式S△BFD＝S△BCD＋S梯形CEFD－S△BEF来求得S△BFD的大小，也能获得证明。

图　2

教师：同学们，小学数学有很多性质往往是直观的、经验的，我们虽然一直在用，却没有深入思考它们的理由，刚才小杭同学记得的这个公式在小学难以解释理由，但如今我们已经是八年级了，有了数式运算的经验，有了平行线间距离处处相等的性质，就可以推理证明了。事实上，这也是初中数学与小学数学的一个重要不同，即初中数学往往要说理、追问理由、给出证明。

教学后记1：小杭同学在课后的反思日记中对这节课有如下的感悟：“今天课上，我觉得那幅图好熟悉，仔细一想，我小学的时候就做过，于是立即用小学里的公式给出答案，很多同学都跟着我说出了这个公式。可是我从没有思考过还要证明它，我只是记下来的。我发现小学数学和初中数学确实不同，虽然小学时学过，但到了初中需要补上证明这一环节。”

教学后记2：周末放假后，小杭同学给我发来消息：“老师，我问过小学数学储老师了，储老师说小学讲那个公式时也说过理由，是我忘了，只记住了结论。”我告诉他：“很好！小学老师淡化了证明的要求，处理得很正确。在不同学段、不同年级，数学知识的学习需要有所侧重、有的放矢，这也是‘混而不错’现象，比如七年级我们学习的‘负负得正’的约定，深追下去一时也能自圆其说。”再后来，小杭同学在我的建议下，完成了一篇数学写作《“混而不错”现象——由一道习题说起》。