终值又称将来值，是现在一定量的资金折算到未来某一时点所对应的金额，通常记作F。现值是指未来某一时点上的一定量资金折算到现在所对应的金额，通常记作P。

现值和终值是一定量资金在前后两个不同时点上对应的价值，其差额即为资金的时间价值。现实生活中计算利息时所称本金、本利和的概念相当于资金时间价值理论中的现值和终值，利率（用i表示）可视为资金时间价值的一种具体表现；现值和终值对应的时点之间可以划分为n期（n≥1），相当于计息期。

为计算方便，这里假定有关字母的含义如下：I为利息；F为终值；P为现值；i为利率（折现率）；n为计算利息的期数。

＞＞1.单利的现值和终值

（1）单利现值。

P＝F÷（1＋n×i）

式中，1÷（1＋n×i）为单利现值系数。

（2）单利终值。

F＝P（1＋n×i）

式中，（1＋n×i）为单利终值系数。

结论：

①单利的终值和单利的现值互为逆运算；

②单利终值系数（1＋n×i）和单利现值系数1÷（1＋n×i）互为倒数。

＞＞2.复利的现值和终值

复利是计算利息的一种方法。按照这种方法，每经过一个计息期，要将所生利息加入本金再计利息，逐期滚算，俗称“利滚利”。这里所说的计息期，是指相邻两次计息的时间间隔，如年、月、日等。除非特别指明，计息期为1年。

（1）复利现值。

复利现值是复利终值的对称概念，指未来一定时间的特定资金按复利计算的现在价值，或者说是为取得将来一定本利和现在所需要的本金。

P＝F÷（1＋i）n

式中，1÷（1＋i）n为复利现值系数，记作（F/P，i，n）。

（2）复利终值。

F＝P（1＋i）n

式中，（1＋i）n为复利终值系数，记作（F/P，i，n）；n为计息期。

结论：

①复利终值和复利现值互为逆运算；

②复利终值系数（1＋i）n和复利现值系数1÷（1＋i）n互为倒数。

（3）复利息。

本金p的n期复利息为：

I＝S—P

【例5—8】本金1 000元，投资5年，利率8％，每年复利一次，其本利和与复利息是：

I＝1 469—1 000＝469（元）

（4）名义利率与实际利率。

复利的计息期不一定总是1年，有可能是季度、月或日。当利息在1年内要复利几次时，给出的年利率叫作名义利率。

【例5—9】本金1 000元，投资5年，年利率8％，每季度复利一次，则：

每季度利率＝8％÷4＝2％

复利次数＝5×4＝20

I＝1 469—1 000＝469（元）

（4）名义利率与实际利率。

复利的计息期不一定总是1年，有可能是季度、月或日。当利息在1年内要复利几次时，给出的年利率叫作名义利率。

【例5—9】本金1 000元，投资5年，年利率8％，每季度复利一次，则：

每季度利率＝8％÷4＝2％

复利次数＝5×4＝20

当1年内复利几次时，实际得到的利息要比按名义利率计算的利息高。上面所得利息486元，比上例要多17元（486—469）。则本例实际利率高于8％，可用下述方法计算：

s＝P·（1＋i）n

1 486＝1 000×（1＋i）5

（1＋i）5＝1.486

即（s/p，i，5）＝1.486

查表得：

（s/p，8％，5）＝1.469

（s/p，9％，5）＝1.538

用插补法求得实际年利率：

当1年内复利几次时，实际得到的利息要比按名义利率计算的利息高。上面所得利息486元，比上例要多17元（486—469）。则本例实际利率高于8％，可用下述方法计算：

s＝P·（1＋i）n

1 486＝1 000×（1＋i）5

（1＋i）5＝1.486

即（s/p，i，5）＝1.486

查表得：

（s/p，8％，5）＝1.469

（s/p，9％，5）＝1.538

用插补法求得实际年利率：

i＝8.25％

实际利率和名义利率之间的关系是：

i＝8.25％

实际利率和名义利率之间的关系是：

式中，r为名义利率；M为每年复利次数；i为实际利率。

将数据代入：

式中，r为名义利率；M为每年复利次数；i为实际利率。

将数据代入：

＞＞3.年金终值和年金现值的计算

年金包括普通年金（后付年金）、即付年金（先付年金）、递延年金、永续年金等形式。普通年金和即付年金是年金的基本形式，都是从第一期开始发生等额收付，两者的区别是普通年金发生在期末，而即付年金发生在期初。递延年金和永续年金是派生出来的年金。递延年金是从第二期或第二期以后才发生，而永续年金的收付趋向于无穷大。

在年金中，系列等额收付的间隔期间只需要满足“相等”的条件即可，间隔期间完全可以不是一年，例如每季末等额支付的债券利息也是年金。

（1）普通年金终值的计算（已知年金A，求终值F）。

根据复利终值的方法计算年金终值的公式为：

F＝A＋A（1＋i）＋A（1＋i）2＋A（1＋i）3＋…＋A（1＋i）n—1

将两边同时乘以（1＋i）得：

＞＞3.年金终值和年金现值的计算

年金包括普通年金（后付年金）、即付年金（先付年金）、递延年金、永续年金等形式。普通年金和即付年金是年金的基本形式，都是从第一期开始发生等额收付，两者的区别是普通年金发生在期末，而即付年金发生在期初。递延年金和永续年金是派生出来的年金。递延年金是从第二期或第二期以后才发生，而永续年金的收付趋向于无穷大。

在年金中，系列等额收付的间隔期间只需要满足“相等”的条件即可，间隔期间完全可以不是一年，例如每季末等额支付的债券利息也是年金。

（1）普通年金终值的计算（已知年金A，求终值F）。

根据复利终值的方法计算年金终值的公式为：

F＝A＋A（1＋i）＋A（1＋i）2＋A（1＋i）3＋…＋A（1＋i）n—1

将两边同时乘以（1＋i）得：

两者相减得：

两者相减得：

式中，称为“年金终值系数”，记作（F／A，i，n），可直接查阅“年金终值系数表”。

（2）偿债基金的计算。

偿债基金是指为了在约定的未来某一时点清偿某笔债务或积聚一定数额的资金而必须分次等额形成的存款准备金，也就是为使年金终值达到既定金额的年金数额（即已知终值F，求年金A）。在普通年金终值公式中解出A，这个A就是偿债基金。

式中，称为“年金终值系数”，记作（F／A，i，n），可直接查阅“年金终值系数表”。

（2）偿债基金的计算。

偿债基金是指为了在约定的未来某一时点清偿某笔债务或积聚一定数额的资金而必须分次等额形成的存款准备金，也就是为使年金终值达到既定金额的年金数额（即已知终值F，求年金A）。在普通年金终值公式中解出A，这个A就是偿债基金。

式中，称为“偿债基金系数”，记作（A／F，i，n）。

结论：

①偿债基金和普通年金终值互为逆运算；

式中，称为“偿债基金系数”，记作（A／F，i，n）。

结论：

①偿债基金和普通年金终值互为逆运算；

②偿债基金系数和普通年金终值系数互为倒数。

（3）普通年金现值。

普通年金现值的计算实际上就是已知年金A，求普通年金现值P。

根据复利现值的方法计算年金现值的公式为：

P＝A（1＋i）—1＋A（1＋i）—2＋A（1＋i）—3＋…＋A（1＋i）—n(www.daowen.com)

将两边同乘以（1＋i）得：

P（1＋i）＝A＋A（1＋i）—1＋A（1＋i）—2＋…＋A（1＋i）—（n—1）

两式相减得：

②偿债基金系数和普通年金终值系数互为倒数。

（3）普通年金现值。

普通年金现值的计算实际上就是已知年金A，求普通年金现值P。

根据复利现值的方法计算年金现值的公式为：

P＝A（1＋i）—1＋A（1＋i）—2＋A（1＋i）—3＋…＋A（1＋i）—n

将两边同乘以（1＋i）得：

P（1＋i）＝A＋A（1＋i）—1＋A（1＋i）—2＋…＋A（1＋i）—（n—1）

两式相减得：

式中，称为“年金现值系数”，记作（P／A，i，n），可直接查阅“年金现值系数表”。

（4）年资本回收额的计算。

年资本回收额是指在约定年限内等额回收初始投入资本或清偿所欠债务的金额。年资本回收额的计算实际上是已知普通年金现值P，求年金A。

式中，称为“年金现值系数”，记作（P／A，i，n），可直接查阅“年金现值系数表”。

（4）年资本回收额的计算。

年资本回收额是指在约定年限内等额回收初始投入资本或清偿所欠债务的金额。年资本回收额的计算实际上是已知普通年金现值P，求年金A。

式中，称为“资本回收系数”，记作（A／P，i，n）。

【例5—10】某建筑公司借得1　000万元的贷款，在10年内以年利率12%等额偿还，则每年应付的金额为多少？

式中，称为“资本回收系数”，记作（A／P，i，n）。

【例5—10】某建筑公司借得1　000万元的贷款，在10年内以年利率12%等额偿还，则每年应付的金额为多少？

结论：

①资本回收额与普通年金现值为互逆运算；

②资本回收系数与普通年金现值系数互为倒数。

（5）即付年金终值的计算。

即付年金的终值是指把即付年金每个等额A都换算成第n期末的数值，再来求和。

即付年金终值的计算公式为：

结论：

①资本回收额与普通年金现值为互逆运算；

②资本回收系数与普通年金现值系数互为倒数。

（5）即付年金终值的计算。

即付年金的终值是指把即付年金每个等额A都换算成第n期末的数值，再来求和。

即付年金终值的计算公式为：

（6）即付年金现值。

即付年金的现值就是把即付年金每个等额的A都换算成第一期期初的数值即第0期期末的数值，再求和。即付年金现值的计算就是已知每期期初等额收付的年金A，求现值P。

（6）即付年金现值。

即付年金的现值就是把即付年金每个等额的A都换算成第一期期初的数值即第0期期末的数值，再求和。即付年金现值的计算就是已知每期期初等额收付的年金A，求现值P。

（7）递延年金终值。

递延年金终值的计算与普通年金终值的计算一样，只是要注意期数。

F＝A（F÷A，i，n）

式中，“n”表示的是A的个数，与递延期无关。

（8）递延年金现值。

计算方法一：

先将递延年金视为n期普通年金，求出在m期普通年金现值，然后再折算到第一期期初：

P0＝A×（P/A，i，n）×（P/F，i，m）

方程式中，m为递延期，n为连续收支期数。

计算方法二：

先计算m＋n期年金现值，再减去m期年金现值：

P0＝A×（P/A，i，m＋n）×（P/A，i，m）

计算方法三：

先求递延年金终值再折现为现值：

P0＝A×（F/A，i，n）×（P/F，i，m＋n）

【例5—11】某建筑公司拟购置一处房产，房主提出两种付款方案：

①从现在起，每年年初支付20万元，连续付10次，共200万元。

②从第5年开始，每年年初支付25万元，连续支付10次，共250万元。

假设该企业的资本成本率（即最低报酬率）为10％，你认为该企业应选择哪个方案？

解答：

①P＝20×［（P/A，10％，9）＋1］＝20×6.759＝135.18（万元）

或P＝（1＋10％）×普通年金现值

　 ＝（1＋10％）×20×（P/A，10％，10）＝135.18（万元）

②P＝25×（P/A，10％，10）×（P/F，10％，3）＝115.41（万元）

或P＝25×［（P/A，10％，13）—（P/A，10％，3）］＝115.41（万元）

或P＝25×［（F/A，10％，10）×（P/F，10％，13）］＝115.41（万元）

该企业应选择第二种方案。

（9）永续年金的现值。

永续年金的现值可以看成是一个n无穷大后付年金的现值，则永续年金现值计算如下：

Pn→∞＝A［1—（1＋i）—n］/i＝A/i

当n趋向无穷大时，由于A、i都是有界量，（1＋i）—n趋向无穷小，因此Pn→∞＝A［1—（1＋i）—n］/i趋向A/i。

（7）递延年金终值。

递延年金终值的计算与普通年金终值的计算一样，只是要注意期数。

F＝A（F÷A，i，n）

式中，“n”表示的是A的个数，与递延期无关。

（8）递延年金现值。

计算方法一：

先将递延年金视为n期普通年金，求出在m期普通年金现值，然后再折算到第一期期初：

P0＝A×（P/A，i，n）×（P/F，i，m）

方程式中，m为递延期，n为连续收支期数。

计算方法二：

先计算m＋n期年金现值，再减去m期年金现值：

P0＝A×（P/A，i，m＋n）×（P/A，i，m）

计算方法三：

先求递延年金终值再折现为现值：

P0＝A×（F/A，i，n）×（P/F，i，m＋n）

【例5—11】某建筑公司拟购置一处房产，房主提出两种付款方案：

①从现在起，每年年初支付20万元，连续付10次，共200万元。

②从第5年开始，每年年初支付25万元，连续支付10次，共250万元。

假设该企业的资本成本率（即最低报酬率）为10％，你认为该企业应选择哪个方案？

解答：

①P＝20×［（P/A，10％，9）＋1］＝20×6.759＝135.18（万元）

或P＝（1＋10％）×普通年金现值

　 ＝（1＋10％）×20×（P/A，10％，10）＝135.18（万元）

②P＝25×（P/A，10％，10）×（P/F，10％，3）＝115.41（万元）

或P＝25×［（P/A，10％，13）—（P/A，10％，3）］＝115.41（万元）

或P＝25×［（F/A，10％，10）×（P/F，10％，13）］＝115.41（万元）

该企业应选择第二种方案。

（9）永续年金的现值。

永续年金的现值可以看成是一个n无穷大后付年金的现值，则永续年金现值计算如下：

Pn→∞＝A［1—（1＋i）—n］/i＝A/i

当n趋向无穷大时，由于A、i都是有界量，（1＋i）—n趋向无穷小，因此Pn→∞＝A［1—（1＋i）—n］/i趋向A/i。