用时间数列反映现象发展变化水平的指标有发展水平、平均发展水平、增减量和平均增减量四种。

1.发展水平

发展水平就是时间数列中的每项指标数值所反映的某种社会经济现象在不同发展时期或时点上实际达到的水平，它是计算各种动态分析指标的基础。发展水平既可以是总量指标，也可以是相对指标或者平均指标。

发展水平按在时间数列中的位置不同，把第一项称为最初水平，通常用a0表示；最后一项称为最末水平，通常用an用表示；其余中间各项称为中间水平，分别以a1，a2，…，an-1表示。

发展水平按在动态分析中的作用不同，将被研究时期的发展水平称为报告期水平或计算期水平，通常用an表示；将作为比较时期的发展水平称为基期水平或基础水平，通常用a0表示。

2.平均发展水平

平均发展水平是根据数列中不同时期（或时点）的发展水平计算的平均数，又称为动态平均数或序时平均数。平均发展水平和前述的一般平均数（静态平均数）有相同之处，但也存在区别。其具体表现为：静态平均数是根据变量数列计算的，而动态平均数是根据时间数列计算的。静态平均数是将总体各单位在同一时间上的标志值差异抽象化，从时间截面反映总体的一般水平；而动态平均数是将总体在不同时间上的指标数值差异抽象化，从时间过程反映总体的一般水平。它们的相同之处在于，都是把个别数量的差异抽象化，以反映现象的一般水平。

平均发展水平在动态分析中具有重要的意义，它可以把时间长短不等的总量指标由不可比变为可比，并消除现象在短期内波动的影响，便于观察现象的发展变化趋势和规律性。

时间数列的平均发展水平可以是绝对数，也可以是相对数或平均数，因此，平均发展水平可以根据绝对数时间数列计算，也可以根据相对数时间数列或平均数时间数列计算。其中，根据绝对数时间数列计算平均发展水平是最基本的方法。

（1）根据绝对数时间数列计算平均发展水平

绝对数时间数列分为时期数列和时点数列两种，由于它们具有不同的性质和特点，因而在平均发展水平的计算方法上也不一样。

1）依据时期数列计算。时期数列的各项指标数值可以相加，所以，依据时期数列计算平均发展水平时可采用简单算术平均法。其计算公式为

式中，表示平均发展水平；ai表示各期发展水平（i=1，2，…，n）；n表示数列项数。

【例8-1】某企业某年四个季度的销售额资料如表8-2所示。试计算该企业某年各季度的平均销售额。

表8-2　某企业某年四个季度的销售额资料

解：该企业某年各季度的平均销售额为

2）依据时点数列计算。时点数列有连续时点数列和间断时点数列之分，这两种时点数列中又有间隔相等与间隔不等两种表现形式。

①连续时点数列的平均发展水平。连续时点数列是指一段时间内每日的时点指标数值都能获取的时间数列。它有两种情况，一是连续时点数列中的各项指标数值为逐日登记、逐日排列的；二是连续时点数列中的各项指标数值为非逐日登记、逐日排列，只在发生变动时进行统计，或者连续几日不变时同时给出。通常将前者称为间隔相等的连续时点数列，将后者称为间隔不等的连续时点数列。

a.间隔相等的连续时点数列。间隔相等的连续时点数列平均发展水平的计算采用简单算术平均法，即将间隔相等的时点指标数值加总之后除以总日历天数。例如，已知某企业一个月内每天的工人数，如果计算该月每天平均工人数，则将每天工人数相加之和除以该月的日历天数即可求得。其计算公式为

式中，a表示逐日给出的时点指标发展水平。

b.间隔不等的连续时点数列。间隔不等的连续时点数列平均发展水平的计算采用加权算术平均法。其计算公式为

式中，a表示给出的各项时点指标数值；f表示给出的各项时点指标数值连续出现的天数。

【例8-2】某企业某年1月份的产品库存额变动情况如表8-3所示。试计算该企业1月份的平均库存额。

表8-3　某企业某年1月份的产品库存额变动情况

解：该企业1月份的平均库存额为

②间断时点数列的平均发展水平。间断时点数列是指只能获取一段时间中一部分日期的时点指标数值的时间数列。它有两种情况：一是数列中相邻两项指标数值之间的时间间隔长度都大致相等，如都间隔一个月、一个季度或者一年等；二是数列中相邻两项指标数值之间的时间间隔长度不完全相等，如有的间隔一个月，有的间隔三个月。通常将前者称为间隔相等的间断时点数列，将后者称为间隔不等的间断时点数列。

a.间隔相等的间断时点数列。间隔相等的间断时点数列平均发展水平的计算公式为

利用这种方法计算平均发展水平有一个前提条件，即假定现象在相邻两个时点之间的发展变动是均匀的。首先以每一小段的中间值代表该小段的平均水平，然后计算各小段平均水平的简单算术平均数，从而得到整个被研究时期的平均发展水平。这种方法称为“首尾折半法”。

【例8-3】某企业某年一季度工人人数资料如表8-4所示。试计算该企业一季度平均工人数。

表8-4　某企业某年一季度工人人数资料

解：该企业一季度平均工人数为

b.间隔不等的间断时点数列。间隔不等的间断时点数列平均发展水平的计算公式为

式中，fi表示各相邻时点指标数值的时间间隔长度（i=1，2，…，n-1）。

【例8-4】某企业某年工人人数资料如表8-5所示。试计算该企业某年平均工人数。

表8-5　某企业某年工人人数资料

解：该企业某年平均工人数为

从理论上讲，在计算时点数列平均发展水平的几种方式中，以间隔相等的连续时点数列为最优，其准确性最高。但在实际工作中往往受客观条件的限制，间隔相等的间断时点数列使用最多、最为普遍，因为它适用于我国的定期统计制度；间隔不等的间断时点数列有时使用，其主要适用于非定期的专门调查。

（2）根据相对数时间数列计算平均发展水平

相对数时间数列由具有互相联系的两个绝对数时间数列的比构成。因此，要先分别计算出分子数列和分母数列的平均发展水平，然后求二者的比值，求出相对数时间数列的平均发展水平。相对数时间数列的平均发展水平的计算公式为

式中，表示相对数时间数列的平均发展水平；表示分子时间数列的平均发展水平；表示分母时间数列的平均发展水平。

由于相对数时间数列可由两个时期数列和两个时点数列或由一个时期数列和一个时点数列的比构成，而时期数列与时点数列的平均发展水平的计算方法又不相同，因此相对数时间数列平均发展水平的计算有以下三种特殊情况。

1）分子数列、分母数列均属于时期数列的相对数时间数列，其平均发展水平的计算公式为(www.daowen.com)

【例8-5】某企业某年一季度各月商品销售额计划完成情况如表8-6所示。试计算该企业某年一季度商品销售额平均计划完成程度。

表8-6　某企业某年一季度各月商品销售额计划完成情况

解：该企业某年一季度商品销售额平均计划完成程度为

2）分子数列和分母数列均属于时点数列的相对数时间数列，其平均发展水平的计算公式因数列的不同情况而有所不同。但在实际工作中，最常见的是由两个间隔相等的间断时点数列的比形成的相对数时间数列，其平均发展水平的计算公式为

【例8-6】某企业某年二季度各月末工人数及情况如表8-7所示。试计算该企业某年二季度工人占全体职工的平均比例。

表8-7　某企业某年二季度各月末工人数及情况

解：该企业某年二季度工人占全体职工的平均比例为

3）分子数列和分母数列，一个是时期数列，另一个是时点数列的相对数时间数列，其平均发展水平的计算公式因数列的不同而有所不同。在实际工作中，最常见的是分子数列为时期数列，分母数列为间隔相等的间断时点数列，即

【例8-7】某企业某年一季度各月商品的销售额、库存额和流转次数如表8-8所示。试计算该企业某年一季度月平均商品流转次数。

表8-8　某企业某年一季度各月商品的销售额、库存额和流转次数

解：该企业某年一季度月平均商品流转次数为

（3）根据平均指标时间数列计算平均发展水平

平均指标时间数列分为两种：一种是由一般平均数组成的时间数列；另一种是由动态平均数组成的时间数列。由于这两种时间数列性质不同，故计算平均发展水平的方法也不同。

1）根据一般平均数组成的时间数列计算平均发展水平。由于该种时间数列中每个指标都是平均数，不能直接相加，故必须先求出分子数列的平均发展水平和分母数列的平均发展水平，二者相除，再求出一般平均数时间数列的平均发展水平。其计算公式为

2）根据动态平均数组成的时间数列计算平均发展水平。如果已知间隔相等的动态平均数时间数列，则计算其平均发展水平时可直接用简单平均的方法，计算公式为

如果已知间隔不等的动态平均数组成的时间数列，则计算其平均发展水平时可以间隔作为权数，采用加权算术平均数的计算方法，计算公式为

式中，f表示间隔，即权数。

3.增减量

增减量是指在比较两个时期的发展水平时，报告期水平与基期水平之差，用以说明现象在一定时期内增加（或减少）的绝对数量。其计算公式为

增减量=报告期水平-基期水平

差值为正数时，表示增长量；差值为负数时，表示减少量。增减量根据研究目的的不同及选择的基期不同，可分为逐期增减量和累积增减量。

（1）逐期增减量

逐期增减量是报告期水平与前一期水平的差额，用以说明现象逐期增加或减少的数量。若以a0，a1，a2，…，an-1，an表示时间数列各期发展水平，则逐期增减量为

（2）累积增减量

累积增减量是报告期水平与某一固定时期水平的差额，说明现象在一定时期内的总的增加或减少数量。若将固定时期水平选为数列最初水平，则累积增减量可表示为

不难看出，逐期增减量和累积增减量间有着密切的关系：

首先，由逐期增减量和累积增减量分别构成新的时间数列，它们首项相等，即

其次，累积增减量是相应的逐期增减量之和，公式为

最后，相邻两项的累积增减量之差等于相应的逐期增减量，公式为

此外，为了消除季节变动的影响，还可以计算年距增减量指标，即本年某期水平减去上年同期水平的差值，以表明本期发展水平比上年同期发展水平增减的数量，即

年距增减量=本期发展水平-上年同期发展水平

【例8-8】某地区2015—2020年人均GDP统计情况如表8-9所示。

表8-9　某地区2015—2020年人均GDP统计情况

续表

4.平均增减量

为了表明现象在一个较长的时期内在绝对量方面增加（减少）的情况，需要计算平均增减量。其计算公式为

由以上公式可以看出，平均增减量是逐期增减量的动态平均数。

【例8-9】由表8-9可知，某地区2015—2020年人均GDP年平均增减量为

或

可见，两种计算方法的结果是一致的。

时间数列水平分析指标（上）（下）（教学视频）