1.标志变异绝对指标的计算方法

（1）全距

全距又称极差，是指数列中最大的标志值与最小的标志值的差。其计算公式为

全距=最大的标志值-最小的标志值

例如，某车间有甲、乙两个生产小组，每组各有7人，他们的日产零件数如下：

甲组：40　50　60　70　80　90　100

乙组：64　66　68　70　72　74　76则

甲组日产零件数的全距=100-40=60（件）

乙组日产零件数的全距=76-64=12（件）

甲、乙两个生产小组的工人平均日产量相等，都为70件，但从全距的计算可看出，甲组工人日产量差异大于乙组工人日产量差异。全距数值越小，反映变量值越集中，标志变动度越小；全距数值越大，反映变量值越分散，标志变动度越大。

对于根据组距数列求全距，可以用最高组的上限与最低组的下限之差求全距的近似值。但当有开口组时，若不知极端数值，则无法求全距。

全距是测定总体差异程度的一种粗略方法，它的优点是计算简便，在实际工作中常用于产品质量的检验和控制。因为在正常生产条件下，产品质量比较稳定，全距在一定范围内波动，若全距超过给定的范围，就说明有不正常情况发生。所以，利用全距有助于及时发现问题，以便采取措施，保证产品质量。但全距在计算时，只考虑两个极端变量值的水平，而不管中间数值的差异情况，也不受次数分配的影响，因而不能全面反映总体各单位标志值的差异程度。

（2）平均差

平均差指各标志值与其算术平均数离差的绝对值的算术平均数。

由于各标志值对算术平均数的离差之和等于0，因此计算平均差时，我们采用离差的绝对值来计算。平均差能够综合反映总体中各单位标志值变动的影响。一般来说，平均差越大，表明标志变异程度越大，平均数的代表性越小；反之，则表明标志变异程度越小，平均数代表性越大。以A.D代表平均差，其计算公式为

在平均数相等、计量单位相同的条件下，可直接采用平均差比较不同总体变量值的离散程度。

【例4-25】甲、乙两个生产小组工人日产量如表4-15所示，试比较两组平均数代表性的大小。

表4-15　甲、乙两个生产小组工人日产量

解：根据表4-15可以算出

计算结果表明，甲组工人日产量平均差异程度为2.4件，乙组工人日产量平均差异为7.2件，甲组的平均差比乙组平均差小，所以乙组平均数的代表性比甲组平均数的代表性小。

【例4-26】某车间100个工人的日产量如表4-16所示。试计算工人的平均日产量，并比较差异程度。

表4-16　某车间100个工人的日产量

解：根据表4-16可得

计算结果表明，该车间工人的平均日产量为23.8件，但工人之间的生产水平是有差异的，平均来说，差异程度为7.98件。

平均差不同于全距，它是根据全部变量值计算出来的，所以对整个变量值的离散趋势有较充分的代表性。但平均差计算采用取离差绝对值的方法来消除正负离差，因而不适于代数方法的演算，从而使其应用受到限制。因此，常用标准差和方差来说明标志变异程度的大小。

（3）标准差

标准差就是总体各单位的标志值与其算术平均数离差平方的算术平均数的平方根，故又称为均方根差。标准差的平方称为方差。

标准差是测定标志变异程度最常用、最主要的指标。标准差的意义与平均差基本相同，都表示各标志值对算术平均数的平均距离。不同之处在于数学处理方法上有所区别：平均差采用绝对值来消除各标志值与算术平均数之间离差的正负值问题，而标准差采用平方的方法来消除正负离差的影响，考虑了总体中各单位标志值的变动影响，更符合数学的运算要求。所以说，标准差不仅具有平均差的优点，而且弥补了平均差的不足，它是综合反映标志变动度最合理的指标，在实际工作中得到极为广泛的运用。

标准差有两种计算方法：

1）简单平均法（适用于资料未分组的情况）。其计算公式为

【例4-27】两组学生统计学成绩如表4-17所示，试比较两组平均成绩的代表性大小。(www.daowen.com)

表4-17　两组学生统计学成绩

解：根据表4-17可以得出

计算结果表明，在两组学生平均成绩相等的情况下，第一组的标准差小于第二组标准差，这说明第一组平均成绩的代表性大于第二组。

2）加权平均法（适用于分组资料）。其计算公式为

【例4-28】已知甲组工人的平均工资为767元，标准差为22元；乙组工人的工资如表4-18所示，试比较两组平均工资的代表性大小。

表4-18　乙组工人的工资

解：根据表4-18可以算出

计算结果表明，在两组工人平均工资相等的情况下，乙组的标准差大于甲组的标准差，这说明乙组工人平均工资的代表性较甲组小。

2.标志变异相对指标的计算方法

以上介绍的各种标志变异指标是反映标志变异度的绝对指标。在计算标志变异指标时，其数值的大小不仅受标志值之间差异程度的影响，还受标志水平高低的影响，仅适用于两个平均数相等时比较代表性大小。因此，在比较两个数列的标志变异度、衡量其平均指标的代表性时，如果两个总体或数列的性质不同、平均水平不同，就不能采用变异绝对指标直接比较其离散程度的大小，而应采用标志变异指标的相对指标，即离散系数。离散系数是极差、平均差和标准差与其算术平均数的对比值，分别称为极差系数、平均差系数和标准差系数，在实际工作中，标准差系数应用最为普遍，其计算公式为

【例4-29】甲商店职工的平均工资为900元，标准差为20元；乙商店职工的平均工资为600元，标准差为18元。试比较两商店平均工资的代表性大小。

分析：从标准差来看，甲商店的标准差比较大，似乎可以判断乙商店的平均工资代表性优于甲商店。但两商店的平均工资不相等，不能通过变异绝对指标直接比较，只能根据标准差系数来判定。

解：根据资料可以算出

计算结果表明，甲商店职工的平均工资的代表性较大。

【例4-30】某商场两个售货小组某周内日销售额如表4-19所示，分别计算甲、乙两组一周内日销售额的全距、平均差、标准差，并比较哪个组日平均销售额的代表性大。

表4-19　某商场两个售货小组某周内日销售额

续表

解：根据表4-19可以算出

由于V甲<V乙，因此甲组平均数代表性大于乙组。

【例4-31】已知某地两企业某月职工人数与工资如表4-20所示，试计算甲、乙两企业工人的平均工资，并比较说明两个企业职工工资的差异程度和平均工资的代表性大小。

表4-20　某地两企业某月职工人数与工资

解：根据表4-20可以算出

由于V甲<V乙，因此甲组平均数代表性大。

标志变异指标（教学视频）

知识与能力训练

[1]1公顷=10 000平方米。

[2]1公里=1千米。

[3]1马力=0.735千瓦。

[4]1公斤=1千克。