6.5.3.1　研究的理论视角

数学学科核心能力研究不仅成为世界各国数学教育改革的核心，也成为当今国际数学教育研究的重要话题.尼斯（M.Niss）认为，掌握数学就意味着拥有数学能力，能在不同的数学情境下理解、判断和使用数学.他提出8种具有严格数学意义的数学能力成分，即数学思维、提出并解决数学问题、数学建模、数学推理、数学表征、数学符号化与形式化、数学交流、工具的使用.［58］尼斯的研究成果近年来被广泛引用.图尔纳（R.Turner）则强调数学核心能力指的是有助于将数学知识应用于实践领域的个人能力，他提出这种个人能力包括数学交流，数学化，数学表征，数学推理与论证，数学策略性思维，使用符号、公式、技术语言等6大能力.［59］

数学核心能力模型的构建既需要考虑数学学科的本质特征，又要关注社会发展对数学教育的新要求.

（一）数学化过程与数学能力

数学是研究现实中数量关系和空间形式的科学，尽管完成了的数学是一种很强的演绎体系，但是苏联著名数学教育家斯托利亚尔（A.A.Stolyar）指出，“数学在其建立过程中，也像其他在发展过程中的任何人类知识体系一样：我们必须先发现定理然后才能去证明它，我们应当先猜测到证明的思路然后才能作出这个证明.因此如果我们想在数学教学中在某种程度上反映出数学的创造过程，就必须不仅教学生‘证明’，而且教学生‘猜测’.”［60］荷兰数学家和数学教育家弗赖登塔尔（H.Freudenthal）对数学教育也有独到而深刻的观点，在他看来，数学的根源是常识，人们通过自己的实践，把这些常识通过反思组织起来，不断地进行横向或纵向的系统化.因此，他认为数学学习主要是进行“再创造”或“数学化”的活动，这个“化”的过程必须是由学习者自己主动去完成的，而不是任何外界所强加的.“在数学教育中应当特别注意这个数学化的过程，培养学生一种自己获取数学的态度，构建自己的数学.数学化的一个重要方面就是反思自己的活动.”［61］我国学者曹才翰认为，数学能力应该是顺利完成数学活动所具备的而且直接影响其活动效率的一种个性心理特征，是数学活动中形成和发展起来的，并在这类活动中表现出来的比较稳定的心理特征.［62］显然，数学核心能力应该是在数学活动中通过对数学知识的亲自探索和创造而发展起来的.换句话说，数学教学应该是数学活动的教学，让学生在获得严格数学意义上的数学基础知识、基本技能和数学思想方法的同时，积累丰富的探索、发明、创造、交流等数学活动经验，这些也是我国最新发布的义务教育阶段数学课程标准中所倡导的.因此数学核心能力与数学活动本质有着密切联系，我们的研究视角将聚焦在数学活动本质上，当然也要考虑现代社会发展对于数学活动的要求.

（二）数学活动本质及其数学能力

已有研究表明，数学活动基本上分为三个阶段：对经验材料的数学组织；对数学材料的逻辑组织；对数学理论的应用.这三个阶段也反映了数学学科的形成和发展途径.从教育角度看，在作为数学活动的数学教学中，教给学生的不是死记现成的材料，而是让学生自己独立地发现数学上已经发现了的东西，同时学会将通过经验而得到的数学材料进行逻辑组织，最后在各种具体问题上应用数学理论知识.［63］

（1）数学地组织经验材料.

在数学教学中，学生会碰到大量的经验性材料，包括来自日常生活经验的各种情境或问题；来自其他学科领域（如物理、化学、生物、地理等）的各种对象和关系；或者是为了教学而特别准备的对象（教材、教具等）；或者是需要进一步一般化和抽象化的数学材料（数学对象）.在这一阶段，学生需要借助于观察、试验、归纳、类比、概括等手段，处理加工这些经验材料，寻找易于从数学角度理解的事实依据或信息.例如，面对数学材料“三角形内角和是180度”，可以让学生用量角器测量或者图形裁剪等观察和试验的方法，认识这个数学材料，虽然它还不是证明，但为寻找证明方法积累了经验.在数学活动中，可以选择学生熟悉的日常经验进行讨论，例如，在宽阔的校园里，从教室到食堂有多条线路，我们选择哪条线路，为什么这样选择，让学生从数学角度加以交流讨论.因此在这一数学活动阶段学习数学，有助于学生形成或发展从数学角度提出问题、数学交流、数学表征、数学建模等能力.

（2）逻辑地组织数学材料.

当学生在经历从数学角度组织或积累经验材料后，还需要抽象出原始概念和公理体系并在这些概念和体系的基础上演绎地建立理论.理论的演绎结构是数学概念体系的一个重要特点，在教学过程中能够而且应当建立有助于向学生揭示这个特点的教学情境.例如：正方形是含有直角的菱形；菱形是含有相等邻边的平行四边形；平行四边形是对边两两平行的四边形；四边形是有四条边的多边形；多边形是封闭折线所围成的图形；图形是点的集合.这样从一个概念引导到另一个概念，最后引导到用来作为原始概念的“集合”和“点”这两个概念.逻辑组织还包括用演绎法来“证明”由归纳而形成的、以假设的形式叙述出来的命题.在这一活动阶段，还应该重视数学活动中的归纳法的作用和一般的似真推理的作用，包括寻求证明什么、从何证明、怎么证明等.因此，通过这样的数学教学过程，可以培养学生数学地解决问题、数学交流、数学表征、数学符号变换、数学推理论证等能力.

（3）数学理论的应用.

无论现代数学有多么抽象，它的根仍然深深地扎在实践之中，从过去的土地测量和商业贸易，到现代的物理、生物、经济学等.当科学、技术或实践活动甚至历史的某个领域产生问题时，数学方法往往有助于这些问题的解决.而要解决这些非数学领域的问题，首先必须把它翻译成数学语言，经过这样翻译以后问题就转化为数学问题，然后就能在严格的数学世界中解决抽象出的数学问题.这一活动阶段强调，学生通过积极的思维活动由具体内容中抽象出数学问题.而观察问题并由问题的具体内容抽象出它的数学方面的能力是通过长期练习培养并巩固起来的.这一阶段重在培养学生学会把具体情况数学化，有助于培养学生数学地解决问题、数学交流、数学推理论证、数学建模等能力.

基于上述分析，数学活动与若干数学能力密切相关，它们包括从数学角度提出问题、数学表征与变换、数学推理与论证、数学地解决问题、数学交流、数学建模等，因此这类数学教学，将有助于学生形成和发展这六大核心能力.图6-20展示了3个数学活动阶段与数学核心能力的关系.［64］

6.5.3.2　数学学科核心能力内涵

数学活动决定着学生数学核心能力的构成，而在作为数学活动的数学教学中，学生将形成并发展这些能力.下面详细分析这些能力的内涵.

（一）从数学角度提出问题

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图6-20　数学学科核心能力与数学活动关系图

研究者们从不同视角探讨问题提出能力的内涵，并提出各自的认识或界定.如西尔弗（E.A.Silver）从两个层面来定义问题提出：（1）分析、探究一个给定的情境，来产生一个新的数学问题；（2）在问题解决的过程中对问题进行阐述（Formulation）和再阐述（Reformulation）而形成一个数学问题.［65］而且，问题提出可以发生在问题解决前、问题解决时或者问题解决后.我国台湾学者梁淑坤则将问题提出定义为：问题提出是用自己的看法想出一个数学问题.在问题提出的过程中，问题提出者会用自己的数学知识和生活经验把情境、人物、事件、数字、图形等建立关系并组织起来，提出一个数学问题.［66］基于上述分析，本研究将“从数学角度提出问题的能力”界定为：基于某情境或问题会产生自己新的数学问题，或者在问题解决过程中或解决后产生新的子问题，并用数学语言表述出这些生成的、创造的、独立的新数学问题.

（二）数学表征与变换

上述对研究背景的分析已经表明，数学表征与变换是各国数学教育改革中最受关注的核心能力之一.从相关研究上看，数学表征是指用某种形式表达数学概念或关系的过程.数学表征有助于学生理解概念、关系或关联以及解决问题过程所使用的数学知识.［67］学习者若要理解某个数学问题，就必须在这个数学问题与一个更易理解的数学问题之间建立一个映射，而表征就是这个映射过程.对照已有的研究成果，我们将数学表征能力界定为：用某种形式，例如书面符号、图形（表）、情景、操作性模型、文字（包括口头文字）等，表达要学习的或处理的数学概念或关系，以便最终解决问题.

数学变换是指在数学问题解决过程中，保持数学问题的某些不变性质，改变信息形态，将要解决的问题进行数学转化，使之达到由繁到简，由未知到已知，由陌生到熟悉的目的.因此数学变换能力是指，为了使得问题能够简化或成功解决会使用改变信息形态的某种数学转化策略.

（三）数学推理与论证

推理是数学的基本思维方式，也是人们在学习和生活中经常使用的思维方式.数学推理则是指人们在数学观念系统作用下，由若干数学条件，结合一定的数学知识、方法，对数学对象形成某种判断的思维操作过程.作为一类推理，它有其自身的特点：首先，数学推理的对象既不是生活中的常识，也不是社会现象，而是表示数量关系和空间形式的数学符号；其次，在某一个思考过程中，数学推理较之一般推理更是环环相扣、连贯进行.并且，推理的依据主要来自问题所在的数学系统.数学高度的抽象性和逻辑的严谨性使得数学推理相对具有一定的难度.

论证离不开推理.在论证过程中，之所以能够根据已知判断的真确认另一判断的真或假，正是因为在已知判断和所要论证其真或假的判断之间建立了必然的逻辑联系，而后者是从前者通过推理形式推导出来的，所以说论证过程必须应用一个或一系列的推理，是推理形式的运用，推理是论证的工具.基于上述分析，“数学推理论证能力”的具体内涵为：通过对数学对象（数学概念、关系、性质、规则、命题等）进行逻辑性思考（观察、实验、归纳、类比、演绎），从而作出推论；再进一步寻求证据，给出证明或举出反例，说明所给出推论的合理性的综合能力.

（四）数学建模

数学建模经常与数学应用归在一起，但两者的着重点不同，建模着重于建立真实世界与数学世界之间可逆的联系，关注抽象出数学问题与解决现实问题的过程.数学建模不是线性过程，需要不断地从数学世界返回真实世界中检验结果，完善模型.研究者布鲁姆（W.Blum）提出数学建模是一个非线性的循环过程，它由7个步骤组成：（1）理解现实问题情境；（2）简化或结构化现实情境，形成现实模型；（3）将被结构化的现实模型翻译为数学问题，形成数学模型；（4）用数学方法解决所提出的数学问题，获得数学解答；（5）根据具体的现实情境解读并检验数学解答，获得现实结果；（6）检验现实结果的有效性；（7）反馈给现实情境.［68］因此，数学建模能力表现为：面对某个综合性情境，能够理解并建构现实情境模型，会将该模型翻译为数学问题，建立数学模型，然后会用数学方法解决数学问题，再根据具体的情境解读与检验数学解答，并验证模型的合理性.

（五）数学地解决问题

作为数学活动过程中重要的能力——数学地解决问题的能力，目前没有统一的界定.例如，美国NCTM在2000年颁布的标准中将数学地解决问题描述为：通过解决问题掌握新的数学知识；解决在数学及其他情境中出现的问题；采用各种恰当的策略解决问题；能检验和反思数学问题解决的过程.德国在2003年颁布的数学课程标准中对数学地解决问题界定为：拥有适当的数学策略去发现解决问题的思路或方法并加以反思.［69］我国数学教育一直非常重视数学地解决问题的能力，2011年颁布的《义务教育数学课程标准》对数学地解决问题作了较为详细的说明，强调通过数学课程学习初中学生应获得数学问题解决能力.通过文本分析，本研究将数学地解决问题界定为：采用各种恰当的数学知识、方法与策略，解决在数学或其他情境中出现的问题，并能检验与反思数学问题解决的过程.

（六）数学交流

重视数学交流能力的培养是现代社会发展对数学教育的要求.目前许多国家在其数学课程标准中明确提出了培养学生的数学交流能力的要求.如，英国国家课程在“关键概念”板块中指出“有效地数学交流能力”是三大能力之一，［70］要求学生能理解和解释以多种形式呈现的数学，并以最合适的方式有信心地交流数学.国际经济合作与发展组织（OECD）主持的国际学生评价项目（PISA）也将数学交流能力作为数学能力评估框架中的一种，且将其描述为“伴随交流过程的数学读写能力”.［71］我国2011版《义务教育数学课程标准》也明确要求学生能与他人交流各自解决问题的算法和过程，并能表达自己的想法等.不仅各国数学课程标准等文本对数学交流能力作出说明，而且亦有丰硕的研究成果为我们认识数学交流能力提供参考.本研究将数学交流能力界定为：能不同程度地以阅读、倾听等方式识别、理解、领会数学思想和数学事实，并能以写作、讲解等方式解释自己的问题解决方法、过程和结果，针对他人的数学思想和数学事实作出分析和评价.

综上分析，我们获得由六大能力成分构成的数学核心能力模型及其内涵，现汇总在表6-12中.

表6-12　数学学科核心能力内涵