由于VaR只关注损失的概率而忽视损失的大小，因此会导致风险被低估。期望损失考虑了某一目标以下的损失大小，弥补了VaR只关注损失概率而忽视损失大小的缺陷。故本节我们研究保险公司期望损失风险约束下的最优保险问题，保险公司期望损失风险约束可以写为以下形式：

在本节我们考虑保费固定约束下模型（7.1）（7.20）的求解，当保费h（EI）=π时，模型可以写为

I^∗（x）=（x-d）^＋

其中d≥0满足E（X-d）^＋=h^-1（π）。

E（I-τ）^＋=E（I-τ）≤ε

（1）若约束条件（7.21c）为松弛约束时，问题的最优解为I^∗（x）=（x-d）^＋，其中d≥0满足

（2）若约束条件（7.21c）为紧约束时，问题（7.21）的最优解可以写为

其中d₂＞d₁≥0满足

证明：

E（I^∗-τ）^＋=E[（X-d）^＋-τ]^＋=E（X-d-τ）^＋≤ε

即I^∗（x）满足约束（7.21c）。故此时I^∗（x）=（x-d）^＋为模型（7.21）的最优解。

（2）令G₁（c）=E（X-c）^＋-E（X-c-τ）^＋, G₂（c）=E（X-c-τ）^＋。容易证明G₁′（c）=F（c）-F（c＋τ）≤0, G₂′（c）=F（c＋τ）-1≤0，其中F（x）为X的概率分布函数，故G₁（c）和G₂（c）均为c的递增函数。由τ＞0我们有ε=E（I-τ）^＋＜EI=h^-1（π），同时由ε＞0得存在d₁, d₂∈R使得G₁（d₁）=h^-1（π）-ε, G₂（d₂）=ε，此处我们假设d₂＞d₁≥0（为了保证d₁, d₂满足d₂＞d₁≥0, π和ε需要满足条件G₁（0）≥h^-1（π）-ε＞G₁（d₂））。由式（7.24）（7.26）我们有

同时由式（7.24）, I^∗（x）可以写为

因而由式（7.25）（7.26）我们有

故由式（7.27）和式（7.29）得如式（7.24）所示的I^∗（x）满足约束条件（7.21b）（7.21c）。

为了证明I^∗（x）为模型（7.21）的最优解，我们采用凸对偶方法（Karatzas & Shreve, 1998），考虑以下对偶优化问题：

其中λ₁∈R, λ₂＞0。对于优化问题（7.30），我们有以下引理成立。

引理7.2　令λ₁∈R, λ₂＞0, δ₁=W₁-π-v（λ₁）, δ₂=W₁-π-v（λ₁＋λ₂），其中v（.）为函数u′（.）的逆函数。若τ＞0，则问题（7.30）的最优解可以写为

证明：令g₁（y）=u（W₁-x＋y-π）-λ₁y, g₂（y）=u（W₁-x＋y-π）-λ₁y-λ₂（y-τ），则对偶优化问题（7.30）中的g（y）可以写作

显然g（y）是y的连续函数，并且在y=τ处一阶导数不连续。由于u为严格凹函数，故g₁（y）和g₂（y）都是严格凹函数，具有唯一的全局最大值。

令g₁′（y）=0我们有u′（W₁-x＋y-π）-λ₁=0，故g₁（y）的全局极大值点可以写为y₁=x＋π-W₁＋v（λ₁）=x-δ₁。同样的，令g₂′（y）=0我们有u′（W₁-x＋y-π）-λ₁-λ₂=0，故g₂（y）的全局极大值点可以写为y₁=x＋π-W₁＋v（λ₁＋λ₂）=x-δ₂。由v（.）是一个严格递减函数以及λ₂＞0，我们有v（λ₁）＞v（λ₁＋λ₂）, δ₁＜δ₂以及y₁＞y₂。

为了求得问题（7.30）的最优解，我们考虑以下情况：

（i）τ≥x

当0≤y≤x时，我们有g（y）=g₁（y）。由于g₁（y）是y的严格凹函数，容易证明问题（7.30）的最优解可以写为

（ii）0≤τ＜x

为了求得问题（7.30）的最优解，我们考虑以下五种情况：

（a）τ＜x≤δ₁

此时我们有y₂＜y₁=x-δ₁≤0成立，故当y∈[0, x]时，g（y）是一个递减函数，故g（y）在[0, x]区间的最大值点为y^∗=0。

（b）δ₁＜x≤τ＋δ₁

显然此时我们有0＜y₁=x-δ₁≤τ和y₂＜y₁≤τ成立，故g（y）在区间[0, y₁]是y的递增函数，而在区间[y₁, x]是y的递减函数，因此g（y）在[0, x]区间的最大值点为y^∗=y₁=x-δ₁。

（c）τ＋δ₁＜x≤τ＋δ₂

此时我们有y₁=x-δ₁＞τ和y₂=x-δ₂＜τ成立，因而g（y）在[0, τ]区间是y的递增函数，而在[τ, x]区间是y的递增函数，故g（y）在[0, x]区间的最大值点为y^∗=τ。

（d）x＞τ＋δ₂, δ₂≥0

此时我们有τ＜y₂=x-δ₂≤x和y₁＞y₂＞τ成立，因而g（y）在[0, y₂]区间是y的递增函数，而在[y₂, x]区间是y的递增函数，因而g（y）在[0, x]区间的最大值点为y^∗=y₂=x-δ₂。

（e）δ₂＜0

此时我们有y₁＞y₂=x-δ₂＞x成立，故当y∈[0, x]时g（y）为y的递增函数，因此g（y）在[0, y]区间的极大值点为y^∗=x。

综合情形（a-e），我们可以得到当0≤τ≤x时，问题（7.30）的最优解可以写为

容易证明综合考虑情形（i）和情形（ii）后，问题（7.30）的最优解可以写为

故引理7.2得证。

令λ₁=u′（W₁-π-d₁）, λ₂=u′（W₁-π-d₂）-u′（W₁-π(-?)d₁），由于u′（.）为递减函数，并且d₂＞d₁，故有λ₂≥0。对所有损失的实现值x≥0重复应用引理7.2，我们有式（7.24）为以下问题的最优解：

令J为满足约束条件（7.21b）（7.21c）（7.21d）的任意保险策略，则我们有

其中上述过程中的第一个不等式成立的原因是我们有E（I^∗-τ）^＋=ε和E（J-τ）^＋≤ε成立。故命题7.6得证。

故由命题7.5和命题7.6可知若模型（7.21）的最优解存在，则它有以下2种形式，即

由于d₂满足式（7.26），故由式（7.33）可得E（X-d-τ）^＋＞E（X-d₂-τ）^＋，因而有d＜d₂。

图7-5　保险公司期望损失风险约束对投保人最优保险政策的影响(www.daowen.com)

图7-6　保险公司期望损失风险约束对保险公司最终财富的影响

图7-7　保险公司期望损失风险约束对投保人最终财富的影响s

在7.3.1节我们求解了保费固定约束下的最优保险模型，显然在式（7.31）和（7.32）中d, d₁, d₂, τ均为保费π的函数。在本节我们求解最优的保费设置，或最优的d, d₁, d₂, τ，从而求得模型（7.1）（7.20）的最优解，得到保险公司期望损失风险约束下的最优保险政策。

即投保人的最优期望效用函数随着保险公司风险容忍程度的提高而提高。

证明：

U（d）=Eu（W₁-X＋（X-d）^＋-h（E（X-d）^＋））

令L（d₁, d₂, τ, γ₁, γ₂）=U（d₁, d₂, τ）-γ₁M（d₁, d₂, τ）-γ₂N（d₁, d₂, τ），其中γ₁, γ₂∈R为拉格朗日乘子。由一阶条件∂L/∂d₁=0我们有

由条件∂L/∂d₂=0我们有

由条件∂L/∂τ=0可得

由式（7.41）和式（7.42）我们有

将γ₁和γ₂代入式（7.43），通过略有复杂的计算我们可得式（7.36）成立。

同时由包络定理我们有

由于d₁＜d₂，并且u′（.）为严格递减函数故我们有γ₁＞0，即我们有式（7.39）成立。

同样的，我们以指数风险偏好的投保人为例，研究一阶下偏矩风险约束对投保人最优保险政策的影响。

证明：

图7-8　投保人指数风险偏好时保险公司期望损失风险约束下的最优保险政策