VaR是实际中应用普遍的度量风险暴露的方法，本节首先研究保险公司VaR风险约束下的最优保险政策。假设投保人的效用函数为u，其中u满足u′＞0, u″＜0。投保人的初始财富为W₁，可能会遭受一个不确定的损失X，其中X为定义在概率空间（Ω, F, P）上的非负随机变量。投保人希望将风险转移给保险公司，约定当遭受损失x≥0时，他可以从保险公司得到的补偿为I（x），其中I（x）满足对任意损失x≥0, 0≤I（x）≤x。令L表示满足上述条件的I（x）的集合。保费假设为投保人所获补偿数学期望的函数h（EI），其中h（x）为x的严格递增函数，并且满足h（0）=0。假设保险公司的初始财富为W₂，则在向投保人提供保险合约I后保险公司的财富为W₂-I＋h（EI），投保人的财富则为W₁-X＋I-h（EI）。保险公司VaR风险约束下的最优保险政策可以写为以下形式：

在没有约束条件式（7.2）时，式（7.1）即为著名的Arrow模型，它的解可以写作I^∗（x）=（x-d）^＋（Promislow & Young, 2005）。若I^∗（x）=（x-d）^＋满足保险公司的风险约束式（7-2），则它同样也是模型（7.1）（7.2）的解。否则若I^∗（x）不满足式（7.2），投保人会改变自己的保险策略以使约束（7.2）的等式成立。

模型（7.1）（7.2）是一个最优控制问题，我们按照Raviv（1979）和Gollier（1987）的方法，采取2个步骤求解这个模型。第一步我们首先固定保费，求解在保费固定约束条件下模型（7.1）（7.2）的解。假设当保费h（EI）=π时模型（7.1）（7.2）的解为I^∗（x, π），显然它是保费π的函数。第二步我们将I^∗（x, π）代入模型（7.1）（7.2），求解最优的保费π^∗，从而可以求得模型（7.1）（7.2）的解I^∗（x, π^∗）。在7.2.1节首先讨论第一步，即考虑固定保费约束下的最优保险政策，在7.2.2节讨论第二步，以确定保险公司VaR风险约束下的最优保险政策。

在本节我们考虑保费固定约束下模型（7.1）（7.2）的求解。当保费h（EI）=π时，模型可以写作

其中d满足EI^∗=h^-1（π）。

证明：

故此时I^∗（x）是模型（7.3）的最优解。

引理7.1　优化问题（7.5）的最优解可以写作以下形式：

其中d=（W₁-π-v（λ₁））^＋, v（.）是u′（.）的逆函数。

证明：令g₁（y）=u（W₁-x＋y-π）-λ₁y，令g1′（y）=u′（W₁-x＋y-π）-λ₁=0我们有y=x-[W₁-π-v（λ₁）]。由于g₁（y）为y的严格凹函数，容易证明当y∈[0, x]时，g₁（y）的最大值点为y₁=（x-d）^＋，其中d=（W₁-π-v（λ₁））^＋。由于y=τ是g（y）=g₁（y）＋λ₂1_{y≤τ}的非连续间断点，故当y∈[0, x]时，g（y）的最大值点或者为y₁=（x-d）^＋，或者为y₂=τ。

为了求解模型（7.5），我们考虑以下3种情况：

（i）x≤d＋τ

此时由y₁=（x-d）^＋≤τ，故我们有

g（y₁）=g₁（y₁）＋λ₂≥g₁（τ）＋λ₂=g（τ）

即此时模型（7.5）的最优解为y^∗=y₁=（x-d）^＋。

此时我们有y₁=x-d＞τ，故g（y₁）=u（W₁-d-π）-λ₁（x-d）。同时我们有

令G（x）=u（W₁-x＋τ-π）＋λ₁x，由于x＞d＋τ≥W₁-π(-?)v（λ₁）＋τ并且u′（.）是递减函数，故我们有

G′（x）=λ₁-u′（W₁-x＋τ-π）≤λ₁-u′（v（λ₁））=0

类似于情况（ii），容易证明此时我们有g（y₁）≥g（τ）成立。由x≥d得当y∈[0, x]时g（y）的最大值点为y^∗=x-d。

最后我们有

令d≥0为方程E（I^∗）=h^-1（π）的解，λ₁=u′（W₁-π-d）。对所有损失的实现值x≥0重复应用引理7.1，我们有式（7.4）是以下优化问题的最优解

令J为满足约束条件（7.3b）（7.3c）（7.3d）的任意保险策略，则我们有

由命题7.1可知若模型（7.3）的解存在，则它有以下2种形式，即

图7-1　保险公司VaR风险约束对投保人最优保险政策的影响

图7-2　保险公司VaR风险约束对保险公司最终财富的影响

图7-3　保险公司VaR风险约束对投保人最终财富的影响

在7.2.1节我们求解了保费固定约束下的最优保险模型，在式（7.7）和（7.8）中d和τ均为保费π的函数。在本节我们求解最优的保费设置，即最优的d, τ，从而求得模型（7.1）（7.2）的最优解，得到保险公司VaR风险约束下投保人最优的保险政策。

证明：

U（d）=Eu（W₁-X＋（X-d）^＋-h（E（X-d）^＋））

故我们证明了式（7.10）。

令L（d, τ, γ）=U（d₁, d₂, τ）-γ M（d₁, d₂, τ），其中γ∈R为拉格朗日乘子。则由一阶条件∂L/∂d=0我们有

由条件∂L/∂τ=0可得

由式（7.15）和式（7.16），通过消去γ并整理后我们可以得到式（7.11）。

同时由包络定理我们有

由u（.）为凹函数，我们有

通过命题7.3我们可以求得模型（7.1）（7.2）的最优解。式（7.9）和式（7.11）都具有很直观的经济含义，式子的左边代表投保人获得额外补偿后期望效用的边际收益，而式子的右边代表支付额外保险费用导致期望效用的边际损失。事实上式（7.9）可以写成和式（7.11）类似的形式，式（7.9）的左边可以写为

将上式代入式（7.9）我们有

显然上式和式（7.11）具有类似的形式。(www.daowen.com)

命题7.4　假设投保人的效用函数为指数效用函数，即u（W）=c-be^-RW，其中b, R＞0, R为投保人的绝对风险厌恶系数。d≥0为式（7.9）（7.11）的解，d₁, τ≥0为式（7.11）（7.12）的解，则当h″=0时我们有d=d₁，而当h″＞0时，我们有d≥d₁。

证明：

为符号书写简便，令π₁=E（I^∗₁）=E（X-d）^＋，则由式（7.9）和指数效用函数，我们有

整理后上式可以写为

整理后上式可以写为

图7-4　投保人指数风险偏好时保险公司VaR风险约束下的最优保险政策