为了降低交易成本和避免卖空限制，本章我们假设投资者交易两种美元计价的股票指数期货：标准普尔500指数期货和日经225指数期货。这2种期货都在芝加哥商品交易所交易，它们的连续指数期货的周收盘价数据来源于StevensAnalytics。由于日经225指数期货于1990年9月25日在芝加哥商品交易所开始交易，我们的数据样本始于1991年，涵盖了1991年1月—2014年12月共1240周的数据。期货收益率为百分比收益率，即本周价格除以上一周价格再减去1计算。收益率的汇总统计信息见表6-1。

由表6-1我们可以发现，与日经225指数期货相比，标准普尔500指数期货的收益率具有较高的均值和较低的标准差，但具有更左的偏度和更厚的尾部。由于标准正态分布的偏度为0，峰度为3，由2个期货收益率序列的样本偏度和峰度可以看出，它们都不服从正态分布，Jarque-Bera检验在1%显著性水平上拒绝正态分布假设。基于10阶滞后的Ljung-Box-Q检验表明，2个收益率序列中都存在显著的自相关。基于10阶滞后的ARCH检验表明，标准普尔500指数期货收益序列存在显著的ARCH效应。最后，2个期货收益率序列之间线性相关系数为0.5580，表明它们之间存在较强的相关性。

表6-1　收益率的描述性统计

表6-2中的第2-3列报告了BEKK模型的估计结果。在BEKK模型下，标准普尔500指数期货和日经225指数期货的波动率可以写作

因而，a₁₁和a₂₂的参数估计分别为0.3488和0.2713，在1%水平上显著，表明标准普尔500指数期货和日经225指数期货的价格冲击对各自下一期的波动率有显著影响。b₁₁和b₂₂的参数估计分别为0.9409和0.9008，接近于1并且在1%的水平上显著，表明标注普尔500指数期货和日经225指数期货均存在波动率集聚效应。由于a₁₂和b₂₁均显著不为0，表明2个期货品种之间存在波动率双向溢出效应。

表6-2　参数估计结果

所以平均跳跃幅度θ为负表明复合泊松分布随机数的偏度为负。日经225指数期货跳跃幅度的波动率高于标准普尔500指数期货，跳跃冲击相关性估计为0.9990，在1%的水平上显著，表明2个期货合约的跳跃幅度具有较高的相关性。

表6-2中的第6-7列显示了BAJI模型的估计结果。平缓变动部分服从BEKK过程，其参数估计值同BEKK模型和BCJI模型基本一致，且2种期货合约的波动率存在集聚效益和双向溢出效应。跳跃变动部分服从跳跃强度时变的复合泊松过程。跳跃持续性参数ρ₁, ρ2和ρ_c的估计值分别为0.9901、0.9625和0.7878，并且在1%的水平上显著，表明2个期货收益率的个体跳跃强度和共同跳跃强度都具有持续性。这与Maheu and McCurdy（2004）的发现一致，即跳跃强度具有集聚性，当期市场具有较高的跳跃强度，下一期市场的跳跃强度仍然会比较高。个体跳跃冲击和共同跳跃冲击的系数估计值分别为φ₁=0.7907, φ₂=0.5638和φ_c=0.6385，并且在1%水平上显著。由于BAJI模型考虑了跳跃强度的动态变化，BAJI模型跳跃幅度的波动率远低于BCJI模型。最后，跳跃幅度相关性的估计值为0.9007，在1%的水平上显著，表明2种期货的跳跃幅度有很高的相关性。

图6-1给出了BAJI模型下个体跳跃强度和共同跳跃强度的时间序列估计。上面板显示了标准普尔500指数期货的个体跳跃强度。我们可以看到，在21世纪初的美国经济衰退期间，标准普尔500指数期货的个体跳跃强度达到较高的水平。图6-1的中间面板给出了日经225指数期货的个体跳跃强度。我们可以发现，在20世纪90年代的日本经济衰退期间，日经指数期货的跳跃强度处于较高的水平，但在2000年之后趋于降低。尽管在2008年美国次贷危机期间，2个期货收益率序列的个体跳跃强度相对较低，但图6-1的下面板显示，它们的共同跳跃强度非常高，表明美国次贷危机对标准普尔500指数期货和日经225指数期货都造成了较大的冲击。从图中可以看出，在2004年之前，个体跳跃强度较高，而系统性共同跳跃较低；而在2004年之后，个体跳跃强度较低，而系统性共同跳跃较高，即2个期货发生同时跳跃的可能性较高。这些结果与Christoffersen et al.（2012a）的研究结果一致，他们的研究发现，美国和发达市场之间的相关性程度具有随着时间推移逐渐增加的趋势，从而导致全球市场系统性风险增加，国际投资组合风险分散效果变差。

图6-1　标准普尔500指数期货和日经225指数期货的个体跳跃强度和共同跳跃强度

图6-2显示了在BEKK、BCJI和BAJI模型下，标准普尔500指数期货和日经225指数期货线性相关系数的时间序列。由BEKK模型得到的线性相关系数在-0.1352和0.9642之间较大的波动范围波动，BCJI模型的相关系数估计也有较大的波动。相比之下，BAJI模型的相关系数序列更加稳定。此外，图中的虚线给出了线性相关系数对时间的回归拟合线。我们可以看到2个合约的相关性随时间呈上升趋势，表明标准普尔500指数期货与日经指数期货之间的相关程度样本区间有所增加。

图6-2　标准普尔500指数期货和日经225指数期货的相关系数

表6-3给出了BEKK、BCJI和BAJI这3个模型的模型设定检验。在这3个模型中，BAJI模型能更好地拟合收益率序列，具有较高的对数似然值、较低的AIC值和BIC值。我们按照Berkowitz（2001）的方法来评估不同模型的拟合优度。具体来说，Berkowitz（2001）对收益率引入了以下转换

z_t=Φ^-1（F（r_t））

其中Φ^-1是标准正态分布的逆函数，且

是通过使用预测的概率密度函数f（）将观察到的期货收益转换为在[0, 1]区间均匀分布的随机变量（Rosenblatt, 1952）。如果预测的概率密度函数f（）是被正确设定的，那么z_t应当服从独立的标准正态分布。因此，我们首先做Ljung-Box-Q检验和ARCH-LM检验，检验z_t是否存在序列相关或者存在ARCH效应。然后我们基于Jarque-Bera（JB）检验和Anderson-Darling（AD）检验，考察z_t是否服从标准正态分布。同JB检验类似，AD检验也是一种非参数化检验方法，但AD检验会在尾部观测值赋予更多的权重。

表6-3给出了各个统计检验的p值。对于所有的3个模型，Ljung-Box-Q检验显示z_t不存在显著的自相关性，ARCH检验也表明z_t不存在显著的ARCH效应。然而，JB检验和AD检验的结果表明，BEKK模型不能很好地拟合观测收益，而BCJI模型和BAJI模型都能通过JB检验和AD检验。最后，似然比检验表明，我们可以拒绝用BEKK或BCJI模型来代替BAJI模型的原假设。

表6-3　模型设定检验(www.daowen.com)

我们根据式（6.5）计算投资组合权重。按照Fleming et al.（2001）的方法，我们首先令μ等于样本内收益率的无条件平均值，然后在第6.3.4节中，我们将使用自举法（bootstrapping）评估参数μ的不确定性对投资组合决策的影响。协方差矩阵的估计采用以下4种方法，包括静态模型、BEKK模型、BCJI模型或BAJI模型。

表6-4列出了不同策略收益率的年化平均值、标准差和交易成本，其中年化的目标收益率μ_p在5%～15%之间变化。由式我们可以看到，最优权重与目标收益率μ_p成正比。这表明随着目标收益率的变化，最优投资组合收益的平均值和标准差会随着μ_p按照相同的幅度变化，从而导致不同目标收益率下投资组合的夏普比率是相同的。

通过计算，我们可以得到静态模型、BEKK模型、BCJI模型和BAJI模型的夏普比率分别为0.6268、0.6576、0.6817和0.7056。我们按照DeMiguel et al.（2009）的做法，使用bootstrapping方法来检验BAJI模型是否能产生比其他3个模型更好的绩效。计算结果表明，BAJI模型比静态模型和BEKK模型具有显著更高的夏普比率，p值分别为0.0898和0.0351。BAJI模型的夏普比率虽然高于BCJI模型的夏普比率，但是差异并不显著，p值为0.1622。

假设指数期货的买卖价差和买卖佣金为每个指数点c_i美元，则年化平均交易成本为

其中R_{p, t}表示t时刻不考虑交易成本的总投资回报率，P_{i, t}是指数期货i的价格。我们设定标准普尔500指数期货的交易成本为每个指数点0.10美元，日经225指数期货的交易成本为每个指数点5美元。表6-4的结果表明，年化平均交易成本随着目标收益率的增加而增加。同时，对于给定的目标收益率，静态模型的年化交易成本低于其他3个动态模型的年化交易成本。然而总的来说期货交易成本较小，约占已实现收益的14%。按照Zhou et al.（2019）的做法，我们计算了每种模型在考虑交易成本之后的夏普比率。BAJI模型的夏普比率为0.6090，显著高于静态模型和BEKK模型，后两者的夏普比率分别为0.5340和0.5611。BCJI模型的夏普比率为0.5847，低于BAJI模型，但两者的差异并不显著，对应的p值为0.1520。

表6-4　不同模型的样本内绩效

图6-3绘制了BEKK模型、BCJI模型和BAJI模型下投资组合权重的时间序列，其中目标回报等于10%。我们可以看到，在这3种模型下，标准普尔500指数期货的头寸都是多头，而日经225指数期货的头寸都是空头。现金头寸大多为负值，只是在2008年次贷危机期间，现金头寸为正值。我们按照Kirby and Ostdiek（2012）的方法计算各个模型下的成交金额：

图6-3　不同模型的投资权重

BEKK模型、BCJI模型和BAJI模型的成交金额分别为0.0575、0.0499和0.0556。相比之下，静态模型的成交金额相对较低，为0.0218。

按照Fleming et al.（2001）的做法，我们采用bootstrapping方法来评估预期收益率的不确定性如何影响投资组合绩效。具体来说，给定实际的期货收益率序列，我们通过带放回抽样的方法随机抽取k个样本，较低的k意味着较高的参数不确定性。以这些抽样得到的收益率样本，而不是实际的收益率样本作为输入，我们计算收益率的期望值，求解最优投资组合，并计算投资组合的绩效指标。我们令目标收益率等于10%，表6-5报告了参数不确定性k水平的变化如何影响最优投资组合绩效。可以发现，当bootstrapping样本量k增加时，或等价于参数不确定性程度降低时，所有的模型都会有更好的投资组合绩效，得到更高的夏普比率。同时，对于给定的k，BAJI模型仍然能够得到比其他模型最高的夏普比率。

表6-5　参数不确定对投资组合绩效的影响

在本节，我们以2007年1月3日—2014年12月31日的数据为样本外测试区间，考察静态模型、BEKK模型、BCJI模型和BAJI模型在样本外区间的投资表现。我们首先利用2006年12月27日之前共825个观测值的数据来估计BEKK模型、BCJI模型和BAJI模型的参数，在此基础上对下一周的协方差矩阵进行预测。对于静态模型，我们使用样本内这825个观测值计算无条件协方差矩阵。风险资产的预期收益率等于样本内收益率的平均值。根据式（6.5），我们可以得到最优均值方差投资组合权重。我们假设投资者将持有投资组合直到下周，并计算在这一周能够实现的投资组合收益。当时间到下一周，新的期货收益率观测值可用时，我们重新估计动态模型并更新协方差矩阵，并基于新的样本内收益率来计算期货预期收益率。总计有414个观测值可用于各个模型样本外投资绩效的比较。

我们每隔4周，采用2种方法包括扩展窗口方法和滚动窗口方法，对3个协方差动态模型包括BEKK模型、BCJI模型和BAJI模型进行估计。在扩展窗口法中，我们使用所有目前可用的历史数据来估计动态模型，结果如表6-6所示。我们可以看到，与3类动态模型相比，静态模型具有更低的平均收益率和更高的标准差。BAJI模型的夏普比率为0.4293，高于静态模型、BEKK模型和BCJI模型，后三者的夏普比率分别为0.3329、0.3866和0.4276。但BAJI模型同其他3种模型的差异并不显著，对应的p值分别为0.2409、0.2809和0.4910。在扣除交易成本后，这4种模型的夏普比率分别降至0.2061、0.2424、0.2860和0.2853。

表6-6　基于扩展窗口估计方法的样本外绩效

考虑到期货收益率时间序列中可能存在结构性突变，扩展窗口方法使用过去所有的历史数据对模型进行拟合，估计得到的参数可能无法很好地拟合最近的收益率数据。因此，滚动窗口法也是以往文献中经常采用的方法（DeMiguel et al., 2009；Chou & Liu, 2010）。表6-7给出了基于滚动窗口法的结果，其中模型参数、收益率的均值和协方差矩阵都是使用最近的825个观测值进行估计。我们可以看到，对于3个动态协方差模型，滚动窗口方法通常比扩展窗口方法产生更好的绩效。BAJI模型的实际平均收益率高于其他3个模型，同时更接近目标收益率。BAJI模型的夏普比率为0.4978，显著高于静态模型，其夏普比率为0.2999。BEKK模型和BCJI模型的夏普比率分别为0.4081和0.4601，虽然低于BAJI模型，但差异并不显著，对应的p值分别为0.1934和0.3276。与其他3种模型相比，BAJI模型产生的交易成本相对较低。因此，考虑交易成本后，BAJI模型的夏普比率为0.3687，显著高于静态模型的夏普比率0.1793。考虑交易成本后，BEKK模型和BCJI模型的夏普比率分别为0.2733和0.3301，虽然低于BAJI模型，但不显著。

表6-7　基于滚动窗口方法的样本外绩效