我们首先考察标准普尔500指数期货和沪深300指数的动态跳跃特征。标准普尔500指数期货连续合约数据来自Datastrem，样本覆盖区间为2000年1月3日—2017年12月29日，共有4695个日观测值。沪深300指数来自CSMAR数据库，样本区间为2005年4月11日—2019年12月1日，共有3584个日观测值。我们计算风险资产的对数收益率，即风险资产当前价格与之前一期价格的对数差再乘以100。2种资产对数收益率的汇总统计见表5-1。我们可以发现，同标准普尔500指数期货相比，沪深300指数具有更负的偏度和更小的峰度。由于正态分布的偏度和超值峰度均为0，所以2个资产的时间序列都拒绝正态分布的原假设。在Ljung-BoxQ检验（Ljung & Box, 1978）和ARCH检验（Engle, 1982）中，我们设定滞后期为20。∗∗∗表示1%统计显著。Ljung-Box-Q检验显示，2种收益率具有显著的自相关。同时ARCH检验表明，2种资产收益序列存在显著的ARCH效应。

表5-1　收益率的描述性统计信息

表5-2给出了标准普尔500指数期货的参数估计结果。为了做对比分析，表5-2同时报告了不含跳跃成分的GARCH模型和具有跳跃成分但跳跃强度为恒定值的GARCH-CJI模型的参数估计结果。∗、∗∗和∗∗∗分别代表10%、5%和1%水平上显著。

表5-2　标准普尔500指数期货的参数估计结果

第2列和第3列给出了GARCH模型的估计结果，其中α和β是式（5.1）中描述对数收益率条件均值的参数。由于β的参数估计为负，且1%水平上显著，表明资产收益率存在序列负相关。参数κ、η和ψ是式（5.3）中描述资产收益率条件方差的参数。η的估计值为0.8865，且1%水平上显著，表明条件波动率存在集聚效应。

第4列和第5列报告了GARCH-CJI模型的估计结果。在GARCH-CJI模型中，收益率的冲击包括2部分：一项为服从正态分布的平缓冲击，一项为具有恒定跳跃强度θ的跳跃冲击。同时，我们假定跳跃幅度服从均值为μ，标准差为δ的正态分布。估计结果表明，恒定跳跃强度的估计值为0.0477，并且在1%水平上显著。平均跳跃幅度的估计值为-1.5401，反映了日收益率分布具有负的偏度。

第6列和第7列报告了GARCH-ARJI模型的估计结果。在GARCH-ARJI模型中，收益率的冲击包括2部分：一项为服从正态分布的平缓冲击，一项为具有时变跳跃强度的跳跃冲击。参数θ、ρ和φ分别代表跳跃强度动态过程中常数项、自回归项和冲击项的系数。同时，μ和δ分别代表跳跃幅度的均值和标准差。参数ρ的估计值为0.9614，并且在1%水平上显著，表明跳跃强度具有持续性。冲击项系数的估计值为0.3627，反映了过去冲击对跳跃强度的影响。跳跃大小的均值和标准差的估计与GARCH-CJI模型的估计相似。

同GARCH和GARCH-CJI模型相比，GARCH-ARJI模型具有较大的对数似然值L，较小的AIC和BIC，表明GARCH-ARJI模型比其他2个模型能更好地拟合数据。由于在一定参数约束下，GARCH(-?)ARJI模型可以简化为GARCH模型或GARCH-CJI模型，因而在表5-2中，我们报告了LR，即似然比检验统计量。我们发现LR统计量均在1%水平上显著，说明我们可以拒绝用GARCH或GARCH-CJI模型代替GARCH-ARJI模型的原假设。

表5-3给出了沪深300指数的参数估计结果。同标准普尔500指数期货的估计结果不同，对于不同的模型，沪深300指数的β估计值为正但不显著，表明沪深300指数收益率不存在显著的序列相关。GARCH项η的估计值接近于0.95，且在1%水平上显著，表明沪深300指数存在波动的集聚效应。

表5-3的第4列和第5列报告了GARCH-CJI模型的估计结果。恒定跳跃强度的估计值为0.0997，并且在1%水平上显著。跳跃幅度均值和标准差的估计值分别为-0.7472和2.3677，两者均在1%水平上显著，表明沪深300指数日收益率分布具有负的偏度。

表5-3　沪深300指数的参数估计结果

第6列和第7列给出的是GARCH-ARJI模型的估计结果。参数ρ的估计值为0.9749，并且在1%水平上显著，表明跳跃强度具有持续性，即突发事件对沪深300指数价格造成持续性冲击和影响。跳跃冲击项的估计值为0.2721，但不显著，表明之前一期的价格冲击对当前期的跳跃强度影响不显著。最后，跳跃幅度的均值为-0.3925，统计意义上不显著，而跳跃幅度波动率的估计值为2.0016，在1%水平上显著，表明突发事件影响下资产收益率存在较显著的跳跃波动。

图5-1给出了GARCH-ARJI模型下，标准普尔500指数期货和沪深300指数跳跃强度估计值的时间序列。我们可以看到，在21世纪初的美国经济衰退、2008年的美国次贷危机和2010—2011年的欧洲债务危机期间，标准普尔500指数期货价格波动幅度较大，跳跃强度达到较高的水平。

图5-1　标准普尔500指数期货和沪深300指数的跳跃强度时间序列

在样本期间内，标准普尔500指数期货的平均跳跃强度为0.4109，这意味着在一个交易日至少发生1次跳跃的概率为

1-exp（-0.4109）=0.3370.

该结果与Miao et al.（2014）的研究结果比较接近。他们基于高频数据和采用非参数跳跃诊断方法，发现在2001年1月—2010年12月期间，至少出现1次显著跳跃的天数占总交易天数的20%。但该估计值远大于Pan（2002）、Yan（2011）和Christoffersen et al.（2012b）利用标准普尔500指数期权数据得到的平均跳跃强度估计值。他们的实证结果表明，标准普尔500指数平均每年仅跳跃1次，跳跃幅度的均值和标准差分别为-3%和4%左右。由表5-2我们可以看到，GARCH(-?)ARJI模型下，跳跃幅度的均值和标准差分别为-1.02%和0.43%。因此，与使用期权数据检测跳跃的模型相比，ARJI模型的跳跃强度，即跳跃的概率更高，但跳跃幅度的均值和标准差更低。即使用期权数据的方法倾向于检测非常大和罕见的价格跳跃，而ARJI模型和高频数据法则检测相对较小且频繁的价格跳跃。

图5-1的下半部分显示的是沪深300指数跳跃强度的时间序列。我们可以看到，在2008年的金融危机以及2015年的股灾期间，沪深300指数均具有较高的跳跃强度，反映了突发事件影响下资产价格的极端变动。同样，我们可以计算得到样本区间内沪深300指数的平均跳跃强度为0.3078，表明在1个交易日至少发生1次跳跃的概率为0.2649。

图5-2　标准普尔500指数期货在不同模型下的条件方差

芝加哥期权交易所基于标准普尔500指数期权构建了一个波动率指数，即VIX，反映了投资者在未来1个月对市场波动的预期。在2008年10月16日，VIX收盘点位是67.61。所以，GARCH模型和GARCH-CJI模型下得到的波动率要高于VIX收盘价，而GARCH(-?)ARJI模型的预测波动率要低于VIX指数。以往研究表明，期权隐含波动率高于标的资产已实现波动率（Bollerslev et al., 2009；Carr & Wu, 2009），即期权卖方因为承担波动率风险，需要有额外的方差风险补偿。GARCH-ARJI模型通过将收益率冲击分解为平缓变动的冲击和离散跳跃的冲击，分别考虑2种冲击对资产价格波动的影响，从而得到了更加合理的波动率预测。而GARCH模型和GARCH-CJI模型得到的条件方差由于没有分离平缓价格变动和时变的跳跃价格变动，导致在市场受到突发事件冲击的时候，过高得估计了条件方差。

最后，经过计算我们可以得到，在GARCH-ARJI模型下，由跳跃波动带来的方差占总方差的比例为42.63%，即资产价格的跳跃变动是造成标准普尔500指数期货价格波动的重要因素。

图5-3分别显示的沪深300指数在GARCH模型、GARCH-CJI模型和GARCH-ARJI模型下的条件方差时间序列。同标准普尔500指数期货类似，我们可以看到对于不同的模型，沪深300指数的条件方差有类似的趋势。并且，由于将收益率冲击分解为平缓变动的冲击和跳跃变动的冲击，同时考虑了跳跃的时变特征，因而在突发事件影响下，GARCH-ARJI模型得到的总方差要低于其他模型的总方差。例如，在2015年7月13日，3个模型的条件波动率均达到最高值，分别为17.25×10^-4，12.84×10^-4和10.39×10^-4，对应的年化波动率分别为65.66%、56.66%和50.96%。同时，在GARCH-ARJI模型下，沪深300指数跳跃成分导致的方差占资产价格波动总方差的比例为24.96%，小于标准普尔500指数期货对应的比例。

图5-3　沪深300指数在不同模型下的条件方差

为了降低交易成本以及规避做空限制，我们假设投资者交易的风险资产为标准普尔500股指期货。我们通过求解动态最优投资组合问题考察跳跃强度及其动态特征是如何影响投资者的最优投资组合决策。

我们首先研究跳跃强度作为状态变量如何影响最优风险资产权重。假定初始跳跃强度可以为0.05、0.5或1，分别对应于平均每20天、每2天或每1天，风险资产价格会发生一次较大的跳跃。其余两个状态变量，包括资产收益率的条件均值和条件方差，我们设置为等于它们的样本平均值。

我们采用5.3节介绍的方法求解动态最优投资组合，其中投资期限可以为1天、5天或20天，投资者风险厌恶系数为2或10。表5-4的面板A给出了最优风险资产权重，我们发现当跳跃强度增加时，风险厌恶的投资者会降低其在风险资产中的投资比例。由于表5-2给出的估计结果显示资产价格跳跃幅度的均值为-1.0204，因而面板A的结果表明更频繁的负向跳跃使得风险资产对风险厌恶型投资者的吸引力降低。

表5-4　动态投资组合和确定性等价收益率(www.daowen.com)

在表5-4的面板B中，我们报告了动态投资策略的年化确定性等价收益率（Certainty Equivalent Rates of returns, CER）。对于幂效用函数，CER由下式给出

其中Q（Z_t）为式（5.12）中定义的间接效用函数。由于风险厌恶程度越高的投资者对风险资产的投资越少，预期收益越低。从表中可以看出，CER随着风险厌恶程度的降低而降低，这与Brandt（2010）的结果一致。同时，CER随着投资期限的延长而增加，表明随着投资期限的延长，投资者可以从动态交易中获得更多的好处。

最后，在面板C中，我们报告最优动态策略同短视策略（myopic strategy）相比，年化确定性等价收益率的增加值。结果表明，对于风险厌恶程度较低的投资者，最优动态策略的收益更为显著，年化收益率的增加值可达10%以上。而对于风险厌恶度较高的投资者而言，年化收益增加值约为3%。

我们接着考察资产跳跃的动态过程对动态最优投资组合的影响。在GARCH-ARJI模型下，资产价格跳跃的动态性质由三个参数描述：长期均衡跳跃强度θ，跳跃持续性参数ρ，以及跳跃冲击参数φ。假设初始跳跃强度可以为0.05、0.5或1，投资期限从1天到20天。

图5-4　最优风险权重同平均跳跃幅度的关系

由图5-5我们可以看到，跳跃持续性参数ρ对最优权重的影响取决于初始跳跃强度。一方面，如果初始跳跃强度相对较低，较大的ρ表示未来低跳跃强度有较大可能性将持续存在，从而导致投资者提高风险资产的权重。另一方面，如果初始的跳跃强度很高，那么较大的ρ就意味着未来较高的跳跃强度可能持续存在。在这种情况下，投资者将降低风险资产的权重。

图5-5　最优风险资产权重与跳跃持续性参数的关系

最后，图5-6给出了跳跃冲击参数φ对风险资产权重的影响。由式（5.6），即跳跃强度的动态过程我们可以看到，当我们采用蒙特卡洛模拟法生成样本路径的时候，由于跳跃冲击项的条件期望为0，所以跳跃强度的条件期望不会依赖于跳跃冲击项系数φ。所以图5-6显示跳跃冲击参数φ对风险资产权重不存在单调性影响。

图5-6　最优风险资产权重与跳跃冲击系数的关系

为了检验动态跳跃风险对投资者资产配置的重要性，我们比较GARCH-ARJI模型同GARCH模型和GARCH-CJI模型的样本外绩效。我们首先利用2006年12月27日之前的数据来估计GARCH(-?)ARJI模型的参数，并基于当天的资产收益率、方差和跳跃强度，计算未来一天收益率的均值、方差和跳跃强度的预测值。基于这3个状态变量，我们采用模拟仿真的方法来求解动态投资组合问题。当时间滚动到第二天并且有新的观测值时，我们基于滚动窗口法估计模型参数。对于GARCH模型和GARCH-CJI模型，我们同样采用模拟仿真的方法求解动态最优投资组合问题。由于跳跃强度为0或者恒定不变，因而上述两个模型的的状态变量只有2个，包括下一期收益率的条件均值和条件方差。

投资组合绩效评价指标包括组合收益率的年化平均值、标准差（SD）、夏普比率（SR）和年化确定性等价收益率（CER）。此外，为了评估GARCH-ARJI模型的投资绩效是否显著高于其他模型的投资绩效，我们按照DeMiguel et al.（2009）的方法，采用bootstrapping方法来计算模型绩效指标差异的p值。表5-5给出了当风险厌恶程度为2的时候，GARCH模型、GARCH-CJI模型和GARCH-ARJI模型的样本外绩效。同时，我们还加入了50/50投资组合策略，即风险资产和无风险资产的投资权重均为50%。

表5-5　不同模型的样本外绩效（γ=2）

由表中结果我们可以看到，与不考虑跳跃风险的GARCH模型相比，GARCH-ARJI模型更为保守。对于不同的投资期限，GARCH(-?)ARJI模型的样本外收益率具有更低的均值和标准差。当投资期限为1天时，GARCH-ARJI模型的年化夏普比为0.7608，高于GARCH模型的年化夏普比0.7341。然而，两者差异的p值为0.4292，即两者的差异在统计上不显著。当投资期限为20天时，GARCH-ARJI模型的夏普比率显著高于GARCH模型。另外，GARCH-ARJI模型的CER为13.9903，远高于GARCH模型的CER，后者为-0.3328，且两者差值的p值为0.1057。当投资期限为5天或20天时，GARCH-ARJI模型的CER显著高于GARCH模型。

对于不同的投资期限，GARCH-CJI模型的样本外收益率的均值和标准差均显著高于GARCH-ARJI模型。GARCH-ARJI模型的年化夏普比率低于GARCH-CJI模型，但是当投资期限为1天或5天时两者的差异并不显著，而当投资期限为20天时差异变得显著。另外，GARCH-ARJI模型比GARCH-CJI模型能得到更高的CER，并且当投资期限为20天时，两者的差异统计意义上显著。

最后，50/50投资组合的平均收益率和标准差均低于GARCH-ARJI模型。而当使用夏普比率和CER作为绩效衡量指标时，GARCH-ARJI模型可以得到比50/50投资组合更高的绩效。

表5-6给出了当风险厌恶程度为10的时候各个模型的样本外绩效。类似于表5-5的结果，由于考虑了时变的跳跃风险，GARCH(-?)ARJI模型相对于其他模型来说表现得更为保守，其样本外收益率具有更低的均值和标准差。当投资期限为1天时，GARCH-ARJI模型的年化夏普比为0.7602，高于GARCH模型的年化夏普比0.7380。然而两者差异的p值为0.4414，即两者的差异在统计上不显著。当投资期限为20天时，GARCH-ARJI模型的夏普比率为0.8780，在10%的水平上显著性高于GARCH模型的夏普比率0.8244。当投资期限为1天时，GARCH-ARJI模型的CER为2.8089，高于GARCH模型的CER，后者为-0.2946，且两者差值的p值为0.1185。当投资期限为5天或20天时，GARCH-ARJI模型的CER至少以5%的显著性水平高于GARCH模型。

表5-6　不同模型的样本外绩效（γ=10）

同GARCH-CJI模型相比，GARCH-ARJI模型下的样本外收益率具有更小的均值、标准差和夏普比率。尽管两个模型的夏普比率在投资期限为1天或5天的时候差异并不显著，然而当投资期限为20天的时候，GARCH-CJI模型的夏普比率要显著高于GARCH-ARJI模型下的夏普比率。最后，当以CER作为绩效评价指标，我们发现尽管GARCH-ARJI模型能够得到比GARCH-CJI模型更高的CER，但是差异并不显著。

最后，同50/50投资组合相比，GARCH-ARJI模型的样本外收益率具有更高的均值和更低的波动率。因而GARCH-ARJI模型的夏普比率要高于50/50投资组合，并且两者的差异是显著的。同时，如果以CER作为绩效评价指标，GARCH-ARJI模型可以得到比50/50投资组合显著更高的CER值。

在表5-7中，我们进一步计算了扣除交易成本后各个模型的样本外表现。令W_t, P_t和R_{p, t}分别表示t时刻的财富、标准普尔500指数期货价格和不考虑交易成本时投资组合的总回报。假设标准普尔500指数期货的交易成本是每指数点为c美元，那么扣除交易成本后t＋1时刻的财富可以写为

按照Fleming et al.（2001）的假设，假定标准普尔500指数期货的买卖价差和往返佣金成本为每指数点0.10美元。表5-7和表5-8分别给出了扣除交易成本以后各个模型在γ=2和γ=10的投资绩效。我们可以看到，表中结果同表5-5和表5-6中的结果非常一致。

表5-7　考虑交易成本后不同模型的样本外表现（γ=2）

表5-8　考虑交易成本后不同模型的样本外表现（γ=10）