为了刻画风险资产波动率和跳跃强度的动态时变特征，我们建立一个AR（1）-GARCH（1, 1）-ARJI模型来对资产的日度收益率建模。考虑到收益率序列可能存在序列相关，我们假定收益率服从一阶自回归过程。令rt表示资产的对数收益率，其动态过程设定为
类似于Chan and Maheu（2002）和Maheu and McCurdy（2004），我们假设收益率冲击可以分解为两个当期独立的随机过程：
其中ε1，t代表平缓的股价冲击，ε2，t代表突发事件所导致的股价跳跃变动。给定t-1时刻的信息集It-1, ε1，t服从均值为0的正态分布，即ε1，t|It-1～N（0, ht），其中条件方差ht为以下GARCH（1, 1）过程
Maheu and McCurdy（2004）指出，很难根据观察到的收益率序列对两个冲击项ε1，t和ε2，t单独进行估计。因而按照Maheu and McCurdy（2004）的做法，在式中我们设定依据总冲击εt-1来更新条件方差。
跳跃冲击项ε2，t是一个服从补偿复合泊松分布的随机变量
其中跳跃幅度Jk服从均值为μ，标准差为δ的正态分布Jk～N（μ, δ2）。随机过程Nt统计在（t-1, t）区间内资产价格跳跃的次数。给定
信息集It-1, Nt服从一个泊松分布，其条件密度函数为
其中跳跃强度λt=Et-1（Nt）是时变的，且服从以下一阶自回归过程：
式（5.6）中，自回归系数ρ是度量跳跃强度持续性的参数，可以刻画重大事件对资产价格波动的持续性影响。冲击项ξt-1由下式给出：
其中Et-1（Nt-1）=E（Nt-1|It-1）是基于信息集It-1对Nt-1的事后估计，而λt-1=Et-2（Nt-1）是基于信息集It-2对Nt-1的事前预测。两者之差，即ξt-1，代表当t-1时刻新的信息可用时，跳跃次数Nt-1估计值的更新。因此，如果在（t-2, t-1）的时间间隔内有突发事件发生，冲击项ξt-1可以捕捉到该事件对资产价格的影响。此外，Maheu and McCurdy（2004）指出，ξt是一个定义在信息集It上的鞅，并且满足当s≠t时有cov（ξs, ξt）=0。在设定一个动态过程的冲击项时，满足上述条件是一个非常好的性质。最后，为了保证跳跃强度λt是一个非负值，我们设定方程（5.6）中的参数满足以下约束：θ, φ≥0，且φ≤ρ＜1。
令Θ={α, β, κ, η, ψ, θ, ρ, φ}，即GARCH-ARJI模型未知参数的集合，我们采用极大似然估计法对模型参数进行估计。模型的对数似然函数可以写作
其中T代表总的样本量，q（rt|It-1）为给定信息集It-1，收益率rt的概率密度函数
我们由式（5.5）可以求得Pr（Nt=i|It-1）。另外，给定信息集It-1和跳跃次数Nt=i，由式（5.1）和式（5.2）, rt可以写作
因而条件概率q（rt|Nt=i, It-1）可以通过下式求得：
在式（5.7）中，我们还需要确定事后估计量E（Nt|It）。由定义，E（Nt|It）可以写作
基于贝叶斯法则，Pr（Nt=i|It）可由下式求得
假设一个投资者希望通过T个阶段的投资，最大化他在T期期末时财富的期望效用。投资者可以投资一种风险资产和一种无风险资产，在每个阶段初始的时候决定他投资多少权重的风险资产和无风险资产。因而，投资者的最优投资组合问题可以写为：
其中γ代表相对风险厌恶系数。
最优风险资产权重可以通过从T-1时刻至0时刻，递归求解函数Qt（Zt）得到：
其中终端条件可以写作
QT（ZT）=1
当风险资产收益率服从GARCH-ARJI时，问题（5.12）不存在显示解。本章按照Brandt et al.（2005）的方法，采用模拟仿真的方法求解该问题。
问题（5.12）的一阶条件为
利用四阶泰勒展开，上式可以写作(www.daowen.com)
其中
我们采用以下步骤求解At＋1, Bt＋1, Ct＋1, Dt＋1的条件期望。
步骤1.3：从当前时刻开始重复执行上述步骤1.1和步骤1.2直至时刻T-1，可以生成第m条路径上的T个观测值。
步骤1.4：重复执行步骤1.3共M次，我们可以生成M条样本路径，且每条路径上有T个观测值。
步骤2：从时刻T-1至时刻0，对每一条路径m，其中m=1，…, M，递归求解风险资产的最优权重。
令yt＋1代表At＋1, Bt＋1, Ct＋1或Dt＋1中的某一个变量。按照Brandt et al.（2005）的方法，我们假设yt＋1的条件期望Et（yt＋1）为状态变量的线性函数：
Et（yt＋1）=a＋b′Zt
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