我们采用上证指数1996年1月2日至2015年12月31日的日收盘价数据，数据来源于Wind资讯数据库。我们计算上证指数的对数收益率再乘上100，相关的统计信息见表4-1。我们可以看到，上证指数收益率具有负的偏度，并具有厚尾分布。由于正态分布的偏度为零，峰度为3，上证指数收益率不服从正态分布。同时，Jacque-Bera检验在1%的显著性水平上拒绝收益率服从正态分布的原假设。

表4-1　收益率的描述性统计

本章采用两种跳跃扩散模型来拟合上证指数收益率的对数收益率，包括对数正态分布跳扩散模型（LJD）和双指数分布跳跃扩散模型（DEJD）。我们使用极大似然估计方法来估计这两个模型，表4-2中给出了两个模型的参数估计结果，其中∗、∗∗和∗∗∗分别表示在1%、5%和10%的置信水平下显著不为0。

表4-2　参数估计结果

表4-2的第2列和第3列给出了LJD模型的参数估计结果，其中资产价格的跳跃幅度J服从对数正态分布，或等价的，由式（4.2）可知资产收益率的跳跃幅度服从对称的正态分布。我们可以看到，收益率漂移项的估计值为0.0009，在1%的水平上显著。跳跃幅度的均值为-0.0023，在10%水平上显著。跳跃强度的估计值为0.2319，在1%水平上显著，表明上证指数在1天里至少发生1次跳跃的概率为

1-exp（-0.2319）=0.2070.

因而，当考虑跳跃成分的影响，上证指数收益率的均值为

0.0009-0.2319×0.0023=0.00036，

接近于表4-1所列出的上证收益率收益率的均值。同时，收益率扩散部分的波动率为0.0106，在1%水平上显著。而跳跃幅度的波动率0.0285，同样在1%水平上显著。可以看到，跳跃幅度的波动率要大于平缓变动情况下收益率的波动率，即突发事件会导致资产价格发生更大的波动。

表4-2的第4列和第5列给出了DEJD模型的参数估计结果，其中资产价格的跳跃幅度服从双指数分布，使得资产收益率的跳跃幅度和跳跃频率具有非对称性。同LJD模型不同，在DEJD模型下收益率漂移项的估计值为-0.0001，统计意义上不显著。波动率为0.0066，在1%水平上显著，且小于LJD模型下波动率的估计值0.0106。跳跃强度的估计值为0.7454，在1%水平上显著，表明上证指数在1天里至少发生1次跳跃的概率为

1-exp（-0.7454）=0.5255.

因而，同LJD模型相比，DEJD模型具有较小的平缓波动率以及较大的跳跃频率，即DEJD模型将资产价格的波动以更大的比例归因于跳跃引起的波动。上述结果与Ramezani and Zeng（2007）和Huang and Wu（2004）针对美国标准普尔500指数的研究结论相一致，他们认为对数正态分布模型会低估资产的跳跃频率。向上跳跃概率的估计值为0.5634，且在1%水平上显著，表明在样本期间内上证指数收益率发生向上跳跃的可能性更大。向下平均跳跃幅度β_d的估计值为0.0141，在1%水平上显著，表明在利空消息的影响下，上证指数收益率向下跳跃的平均幅度为1.41%。向上平均跳跃幅度β_u的估计值为0.0120，在1%水平上显著，表明在利好消息的影响下，上证指数收益率向下跳跃的平均幅度为1.2%。对于β_u=β_d的原假设，Wald统计量为4.10，对应的伴随概率为0.0429，表明跳跃幅度具有显著的非对称性。由于βd显著大于β_u，这表明负面消息对市场的负向冲击要显著高于正面消息对市场的正向冲击。同时，给定上述参数估计值，我们可以计算得到资产收益率的均值为(www.daowen.com)

0.5634×0.012-0.4366×0.0141-0.0001=0.0005，

同样接近于表4-1所列出的上证收益率收益率的均值。

由于对数正态跳跃扩散模型同双指数跳跃扩散模型不具有嵌套关系，所以我们采用AIC和BIC作为模型比较的准则。由表中结果我们可以看到，同对数正态跳跃扩散模型相比，双指数跳跃扩散模型具有更小的AIC和BIC，因而能更好地拟合收益率时间序列。

我们用Newton-Raphson方法对方程进行数值求解，可以求得LJD模型和DEJD模型下的最优风险资产权重。投资者的相对风险厌恶系数可以为2到10的整数，最优风险资产权重如表4-3所示。可以看到，无论是LJD模型还是DEJD模型，当风险厌恶系数增加时，风险资产的权重都会减小。此外，DEJD模型下的风险资产权重低于LJD模型下的风险资产权重，说明左偏的跳跃分布使得投资者不愿意持有风险资产。

表4-3　不同风险厌恶系数下的最优风险资产权重

为了考察忽略非对称跳跃分布投资者所需要支付的经济成本，我们假设DEJD模型是真实的数据生成过程。我们利用式（4.26）来计算投资者使用错误的LJD模型而不是真实的DEJD模型，所需要支付的经济成本。表4-4的结果表明，风险厌恶系数越低的投资者，如果忽略跳跃分布的非对称，将遭受更多的经济损失。这一结果背后的逻辑是，具有较低风险厌恶系数的投资者更愿意承担风险，所以投资风险资产的比重会比较高。因而，准确地建立风险资产收益率模型对于较低风险厌恶系数的投资者来说更为重要。

表4-4　不同风险厌恶程度投资者的经济成本

图4-3给出了向上跳跃概率p_u如何影响最优风险资产权重。与我们的理论相一致，风险资产权重会随着向上跳跃概率的增加而增加。同时，与风险厌恶系数为10的投资者相比，风险厌恶系数为5的投资者对向上跳跃概率的变动更为敏感：当好消息概率增大时风险资产的权重增加得更快，而当坏消息概率增大时风险资产的权重也会减小得更快。换句话说，投资者的风险厌恶程度越低，对参数p_u的不确定性变化越敏感。

图4-3　最优风险资产权重与向上跳跃概率的关系