鉴于双指数分布能较好地刻画跳跃的非对称性，本节引入双指数分布来刻画风险资产价格的跳跃分布，在此基础上求解动态资产配置问题。

令S_t表示t时刻风险资产的价格，其动态过程可以表示为

令R_t=ln（S_t）代表资产价格的对数，则由Ito公式得

其中Y=ln（J）。在Merton（1976）所提出的对数正态跳跃扩散模型中，资产价格的跳跃幅度J假设服从对数正态分布，所以Y服从正态分布。为了区分好消息和坏消息对资产价格跳跃对非对称影响，刻画资产收益跳跃分布的非对称性，Kaeck（2013）设定Y服从以下双指数分布：

其中p为事件发生时资产价格正向跳跃的概率，β_u和β_d为大于0的比例参数，分别表示资产收益正向跳跃和负向跳跃的平均幅度。

图4-1给出了双指数分布的概率密度函数图，其中向上跳跃概率p设为0.4，向上和向下平均跳跃幅度β_u和β_d分别设置为0.01和0.02。可以看到，同正态分布不同，双指数分布是非对称的，可以刻画不同类型消息对资产价格的非对称影响。因而，与对数正态跳跃扩散模型相比，双指数跳跃扩散模型允许资产收益可以非对称得跳跃（偏度）和剧烈得跳跃（峰度）（Tsay, 2002）。

图4-1　双指数分布概率密度函数

此外，Ramezani and Zeng（2007）指出，如果Y服从双指数分布，那么资产价格对数R_t的动态过程可以等价地写作

其中Y_u和Y_d服从指数分布，比例参数分别为β_u和β_d，向上跳跃的概率和向下跳跃的概率分别为λ_u=pλ和λ_u=（1-p）λ。因此，好消息和坏消息可以具有不同的到达频率，对资产价格造成不同程度的影响，即不同的平均跳跃幅度。我们按照Ramezani and Zeng（2007）的方法，采用最大似然估计法对模型进行估计。

我们假设风险厌恶的投资者目标是最大化期末财富的期望效用函数：

其中W_T代表投资者期末财富。假设投资者具有以下幂效用函数：

其中γ是相对风险厌恶系数。令α_t代表t时刻的风险资产比例，剩余的财富以利率r投资于无风险资产。令δ=μ-r代表风险资产的超额收益，则财富的动态变化过程可表示为：

定义值函数为：

则可得到HJB方程：

其中终端条件为

借鉴Liu（2007）的做法，我们猜测值函数具有以下形式：

其中A（t）为t的函数。将式（4.11）代入式（4.9）可得：

我们首先关注的问题是在卖空和融资约束下，问题（4.13）存在解的条件。首先，我们可以证明以下三个引理。

其中

或

若0＜β_u＜1，则上式可以写作

求解上述方程我们可以解得p_u满足的表达式。

其中

将上式代入式（4.16），经过计算我们可以证明本引理。

式（4.13）的两边对p_u求导数，由链式法则，我们有

或

命题4.1　在资产价格服从双指数跳跃扩散分布条件下，假定0＜β_u＜1且0＜β_dγ＜1。令

其中

由于0＜β_u＜1且γ＞0，容易证明

式（4.13）的两边对β_u求偏导数，由链式法则可得

或

同理，我们有

其中

另外，当β_dγ＜1时，我们有

由命题4.2，我们发现为了使得最优风险资产的权重随着平均向上跳跃幅度β_u的增加而增加，随着平均向下跳跃幅度β_d的增加而减少，投资者的相对风险厌恶系数γ需要满足以下条件：(www.daowen.com)

图4-2　最优风险资产权重同向上平均跳跃幅度的关系

为了评估投资者因忽略非对称跳跃分布而带来的经济成本，我们假设风险资产价格的真实数据生成过程服从双指数跳跃扩散过程，且α^∗为最优风险资产比例。令α^＋代表跳跃幅度服从对数正态分布时的最优风险资产比例。借鉴Das and Uppal（2004）的做法，投资者选择次优组合α^＋而不是最优组合α^∗所需要的初期财富c由下式确定：

求解式（4.21）得

其中由式（4.12）可知，A（t）满足以下微分方程：

其中终端条件为A（T）=1。求解式（4.23）可得，

其中

因而投资者使用次优组合α^＋而不是最优组合的α^∗所带来的经济成本可以写作：