本节采用的是伦敦金属交易所（London Metal Exchange, LME）交易的铜连续三月合约和上海期货交易所（SHFE）交易的铜连续三月合约，自1999年1月4日至2019年12月31日的日收盘价格数据。伦敦金属交易所价格铜期货价格数据来源于Datastream数据库，上海期货交易所铜期货价格数据来源于CSMAR数据库。同国内上海期货交易所的铜合约按月设置不同，LME在3个月以内的铜合约是按天设置的。LME的核心合约也是交易最活跃的合约是三月合约，其他所有期货合约都只进行升贴水报价交易。由于每天都有新的三月合约，而老的合约不断临近并到期，所以LME市场每个工作日都是交割日。

定义铜期货的对数收益率为x_t=ln（S_t）-ln（S_t-1），其中S_t为伦敦铜三月合约在第t日的收盘价，表3-1给出了收益率序列的统计信息，其中表中各主要统计指标的定义为：

表3-1　伦敦铜和上海铜三月合约对数收益率统计信息

Jarque-Bera检验是由Jarque and Bera（1987）提出的用来检验总体是否服从正态分布的检验方法。Jarque-Bera统计量基于样本偏度和峰度，其定义为

当总体服从正态分布时，JB统计量渐近服从自由度为2的χ²分布。而从表中数据可以看到，Jarque-Bera检验拒绝伦敦铜和上海铜三月合约的对数收益率服从正态分布的原假设。

图3-3的上面板给出了伦敦铜三月合约对数收益率的时间序列，图中虚线代表的是正负3倍标准差。按照正态分布假设，铜三月合约对数收益率超过3倍标准差的次数不超过15次。而实际上我们可以发现实际价格发生极端变动的次数达到100次，远远大于正态分布假设下的15次。并且当价格变动幅度大于3倍标准差，即小概率事件发生时，铜三月合约的价格幅度都很大，因而采用只是度量损失频率而忽视损失大小的VaR作为风险测度可能会低估风险。同时由图中我们可以直观的看到价格发生负向变动的频率和幅度都显著大于价格发生正向变动的频率和幅度，即铜三月合约更容易发生负向的极端价格变动。图3-3的下面板给出了上海铜三月合约对数收益率的时间序列，同样，图中虚线代表的是正负3倍标准差。经过计算，上海铜三月合约对数收益率超过3倍标准差的次数为87次，超过正态分布假设下的15次。

图3-3　伦敦铜和上海铜三月合约对数收益率时间序列曲线

我们首先拟和收益率序列的左尾分布。取收益率小于0的时间序列，取相反数并排序后代入式（3.7）可得相应的Hill统计量，通过加权最小二乘法可以得到稳定区域的拟和直线。（k, H（k））关系图即Hill图如图3-4所示，其中图中的星点表示通过量化的Hill图阈值选择模型确定的阈值。从图3-4可以看到，该模型确定的阈值能够较准确地捕捉到Hill图不稳定区域的起点。采用相同的方法，我们可以得到伦敦铜三月合约收益率右尾数据和双边数据的Hill图，分别如图3-5和图3-6所示。由图3-5和图3-6我们可以看到Hill图量化模型确定的阈值点都能较好地捕捉到稳定区域的起点。

图3-4　伦敦铜三月合约左尾数据Hill图和残差序列

图3-5　伦敦铜三月合约右尾数据Hill图和残差序列

图3-6　伦敦铜三月合约双边数据Hill图和残差序列

在求得阈值以后，极大化式（3.20）的极大似然函数我们可以求得左尾分布、右尾分布和双边分布的分布参数，各参数估计结果以及K(-?)S拟和优度检验结果整理如表3-2所示。由于K-S检验显著水平都较高，因此广义帕累托分布能够很好地拟和经验分布的尾部数据。图3-7至图3-9直观的给出了尾部经验分布与拟和的广义帕累托分布的比较图。

表3-2　伦敦铜三月合约尾部分布的参数估计

图3-7　伦敦铜三月合约左尾经验分布与拟和的广义帕累托分布比较图

图3-8　伦敦铜三月合约右尾经验分布与拟和的广义帕累托分布比较图

图3-9　伦敦铜三月合约双边经验分布与拟和的广义帕累托分布比较图

表3-3至表3-5给出了伦敦铜三月合约收益率左尾分布、右尾分布和双边分布在4种概率置信水平下的VaR值和CVaR值，以及相应的VaR回测检验结果。通过表中数据可以看到，除了左尾97%水平下的VaR模型无法通过回测检验以外，其他各个尾部VaR模型的LR统计量都小于3.84。特别是当置信水平较高的时候，基于极值理论得到的保证金模型能够对极端尾部风险进行准确的度量。

表3-3　伦敦铜三月合约左尾保证金模型返回检验

由表3-3至表3-5可以看到，不管是VaR还是CVaR，它们都随着置信水平的增加而增加，然而在同一概率置信水平下，CVaR值比VaR值要大很多。这是由于CVaR是损失超过VaR水平的条件期望，即CVaR不但考虑了VaR所考虑的损失概率，同时也考虑了损失的大小。同时由表3-3和表3-4我们可以看到，当概率置信水平超过0.99的时候，在同一概率水平下左尾分布的风险值大于右尾分布的风险值，表明伦敦铜三月合约价格更可能发生向下的极端变动。

表3-4　伦敦铜三月合约右尾保证金模型返回检验

表3-5　伦敦铜三月合约双边保证金模型返回检验(www.daowen.com)

以2007年初LME铜期货的保证金为例。2007年初LME三月铜期货价格大约在每吨6000美元左右波动，例如在2007年3月23日，LME的A级三月铜合约的结算价格为每吨6790美元。根据LCH清算公司的规定，自2007年2月14日开始，铜合约的初始保证金为每吨550美元，故LME期铜合约保证金按比例计算大约为8.1%。由上述表格可知，该比例对应本章模型99.7%置信水平下的双边CVaR值。Cotter and Dowd（2006）指出，为了控制期货投资者可能产生的较大交易损失以及相应的违约风险，交易所一般会设置较高的置信水平。为了降低对市场的干涉程度，LME没有设置涨跌停板制度，由本章模型可以看到LME铜保证金可以以较高的置信水平覆盖期货投资者的损失。

我们首先拟和收益率序列的左尾分布。取上海铜三月期货合约收益率小于0的时间序列，求相反数并排序后代入式（3.7）可得相应的Hill统计量，通过加权最小二乘法可以得到稳定区域的拟和直线。（k, H（k））关系图即Hill图如图3-10所示，其中图中的星点表示通过量化的Hill图阈值选择模型确定的阈值。从图3-10可以看到，该模型确定的阈值能够较准确地捕捉到Hill图不稳定区域的起点。采用相同的方法，我们可以得到上海铜三月合约收益率右尾数据和双边数据的Hill图，分别如图3-11和图3-12所示。

图3-10　上海铜三月合约左尾数据Hill图和残差序列

图3-11　上海铜三月合约右尾数据Hill图和残差序列

图3-12　上海铜三月合约双边数据Hill图和残差序列

在求得阈值以后，极大化式（3.20）的极大似然函数我们可以求得左尾分布、右尾分布和双边分布的分布参数，各参数估计结果以及K-S拟和优度检验结果整理如表3-6所示。由于K-S检验显著水平都较高，因此广义帕累托分布能够很好地拟和收益率的尾部分布。图3-13至图3-15直观地给出了尾部经验分布与拟和的广义帕累托分布的比较图。

表3-6　上海铜三月合约尾部分布的参数估计

图3-13　上海铜三月合约左尾经验分布与拟和的广义帕累托分布比较图

图3-14　上海铜三月合约右尾经验分布与拟和的广义帕累托分布比较图

图3-15　上海铜三月合约双边经验分布与拟和的广义帕累托分布比较图

表3-7至表3-9给出了上海铜三月合约收益率左尾分布、右尾分布和双边分布在4种概率置信水平下的VaR值和CVaR值，以及相应的VaR回测检验结果。通过表中数据可以看到，各个尾部VaR模型的LR统计量都小于3.84，因此各个VaR模型都能对相应的尾部进行准确的刻画。

由表3-7至表3-9可以看到，不管是VaR还是CVaR，它们都随着置信水平的增加而增加，并且在同一概率置信水平下，CVaR值要大于VaR值。同时由表3-7和表3-8我们可以看到，在同一概率水平下左尾分布的风险值大于右尾分布的风险值。

表3-7　上海铜三月合约左尾保证金模型返回检验

表3-8　上海铜三月合约右尾保证金模型返回检验

表3-9　上海铜三月合约双边保证金模型返回检验

上海期货交易所铜期货保证金水平为5%，对应于99%置信水平下的双边CVaR。上海期货交易所施行3%的涨跌停板制度，5%的保证金水平能够以较高的置信水平覆盖期货价格的不利变动。