极值理论是对极端事件建模的方法，它不关注分布的整体情况，而只对分布的尾部数据进行建模（Embrechts et al., 1997；Embrechts, 2000）。极值理论主要包括两类模型，即BMM模型（Block Maxima Method）和POT模型（Peaks Over Threshold）。

BMM模型又称作分块样本极大值模型，它是一种传统的极值分析方法，所需要的数据量较大，主要用于处理具有明显季节性数据的极值问题。BMM模型首先对原始数据进行分组，并在各组中选取最大值构成新的极值数据序列，理论上可以证明在一定假设下该极值数据序列依分布收敛于广义极值分布。

设随机变量{X_i, i=1, 2, …, n}是独立同分布的随机变量序列，X_(n)=max{X_i，1≤i≤n}为序列中的最大值。由Fisher和Tippett定理（Embrechts et al., 1997），我们有

其中→^d表示依分布收敛，σ_n＞0，-∞＜μ_n＜＋∞, H属于以下3种类型极值分布中的一种（其中α＞0, h（x）为对应的分布密度函数）：

（i）Weibull分布：

（ii）Gumbel分布：

H（x）=Λ（x）=exp（-e^-x）

h（x）=exp（-x-e^-x）.

（iii）Frechet分布：

Weibull分布的特征是瘦尾和尾部有限，如均匀分布就属于Weibull分布。Gumbel分布的特征也是瘦尾，并且它的任意阶矩都存在，包括正态分布、对数正态分布和Gamma分布等都属于Gumbel分布。最重要的一类分布是Frechet分布，它具有厚尾特征，包括Cauchy分布，学生t分布以及帕累托分布都属于Frechet分布。图3-1给出了三种极值分布的分布密度图。

图3-1　三种广义极值分布的分布密度函数图(www.daowen.com)

上述3种极值分布可以由广义极值分布统一表示为：

其中Frechet分布对应的是ξ=α^-1＞0, Weibull分布对应的是ξ=-α^-1＜0, ξ=0对应的则是Gumbell分布。

POT模型是另一种对极端事件建模的方法，同BMM模型相比所需要的数据量较小（Smith 1999）。McNeil and Saladin（1997）指出同其他参数化模型相比，POT模型能够更好的描述数据的厚尾特征，因而POT模型在实际中得到了广泛应用，如保险学和环境分析等（Smith, 1989；Davison & Smith, 1990）。

POT模型需要首先设定一个阈值，以超过该阈值的数据构成的数据组作为研究对象。理论上可以证明，在一定假设条件下该数据组依分布收敛于广义帕累托分布。假设随机变量X的分布函数为F，则X超过某一阈值μ的条件概率分布为

或

其中0≤x＜x₀-μ, x₀是随机变量X的右端点。

由Pickand、Balkema和deHann定理（Embrechts et al., 1997），我们有

其中

σ＞0称作尺度参数，-∞＜ξ＜＋∞称为形状参数，G_{ξ, σ}（x）就是著名的广义帕累托分布。当ξ≥0时，x的取值范围为x≥0；当ξ＜0时，x的取值范围为0≤x≤-σ/ξ。当ξ＞0时，G_{ξ, σ}是参数化的普通帕累托分布，能够刻画厚尾分布；当ξ=0时，G_{ξ, σ}是指数分布；当ξ＜0时，G_{ξ, σ}对应的是帕累托Ⅱ型分布。图3-2给出了三种广义帕累托分布的分布密度图。由图中可以直观的看到ξ越大，分布的尾部越厚。

图3-2　三种广义帕累托分布的分布密度函数图