自20世纪70年代布雷顿森林货币体系瓦解以来，受金融管制放松和金融自由化发展，以及信息技术和金融创新的因素的影响，金融市场的不确定性大大加强。各个金融机构，尤其是监管部门，需要一种有效的量化风险损失的手段，以对风险暴露进行有效的控制和管理。
某一资产X的VaR指的是在正常的市场条件和一定的置信水平α（通常是95%或99%）下，该资产在未来特定的一段时间内的最大可能损失，其严格数学定义为（见Acerbi（2002））：
当持有期为1个月，概率置信水平95%时，如果所估计的VaR值为5000万元，则意味着该投资者估计资产在1个月后发生的损失额超过5000万的概率不会超过5%，凭这一估计的概率损失额投资者可以作出相关的决策。由此可见，这种基于概率意义上的VaR损失在概念上十分直观地描述了资产在未来时刻可能发生的损失数额。
由定义可知，VaR的计算涉及2个重要参数：持有期和概率置信水平，这2个参数对VaR的计算及应用都起着重要的作用。一般来说，持有期的选择取决资产组合自身的特点：资产的流动性越强，相应的持有期越短；反之，流动性越差，持有期则越长。巴塞尔委员会选择10个交易日作为资产组合的持有期，这反映了其对监控成本及实际监管效果的一种折中。持有期太短则监控成本过高；持有期太长则不利于及早发现潜在的风险。置信水平的选取反映了风险管理者对风险的厌恶程度。置信水平越高，厌恶风险的程度越大。国外已将VaR值作为衡量风险的一个指标对外进行信息披露，它们选择的置信水平就不尽相同，如美洲银行选择的置信水平为95%，花旗银行为95.4%，大通曼哈顿银行为97.5%，巴塞尔委员会的规定是要求采用99%的置信水平。
估计VaR的方法很多，包括历史模拟法、蒙特卡洛法等，Duffie and Pan（1997）、乔瑞（2005）和王春峰（2001）对这方面内容进行了详细的综述。
VaR方法能简单清晰地表示市场风险的大小，具有概念简单直观的优点。它可以把各个金融工具、资产组合以及金融机构总体的市场风险量化为一个数字，这使得机构投资者与市场监管者能够很方便地将其与其他数字指标进行比较，如将金融机构的市场风险与其利润总额或资本总额进行比较，从而判断其承受市场风险的能力大小。正是由于VaR的这一特性极大地方便了金融监管部门对各金融机构的有效监管，因此各监管部门纷纷采用VaR作为工具进行风险监管。同时VaR在理论上也有很好的性质，例如：
（1）单调性：对于任意的X, Y∈G，若X≤Y，则ρ（X）≥ρ（Y）。单调性表明一个资产在任何可能出现的情况下都优于另外一个资产，那么这个资产的风险理应是较小的。
（2）正齐次性：对于任意的λ＞0和X∈G，都有ρ（λ X）=λρ（X）。正齐次性表明相同资产构成的组合无法实现风险分散效益。同时，假如风险是由不同的币值来度量，这一点显得更有意义，因为正齐次性表明度量单位对度量函数呈线性影响。
（3）平移不变性：对于任意的a∈R和X∈G, ρ（X＋a）=ρ（X）-a。平移不变性指的是如果对随机收益X增加了一个确定的收益a，那么ρ（x）度量的风险相应的减小a。
（4）分布不变性：对任意的t∈R，若P（X≤t）=P（Y≤t），则有ρ（X）=ρ（Y）。分布不变性是风险测度需要满足的一个重要性质，如果风险测度ρ不满足分布不变性，那么它就不能通过实际数据对风险测度进行一致地估计。
（5）共单调可加性：若X和Y是共单调的，则有ρ（X＋Y）=ρ（X）＋ρ（Y）。
尽管VaR在理论和实际应用中有很多优点，它也存在一定的缺陷。在理论上，Artzner et al.（1999）指出VaR存在以下不足：首先，VaR只是测度了收益损失分布的分位数，而没有考虑VaR水平以上的任何损失。其次，Embrechts（2000）指出当多个资产收益率的联合分布服从联合椭圆分布时，VaR满足次可加性(5)。但是，对于一些更一般的分布，VaR并不满足次可加性。VaR不满足次可加性蕴涵了组合多样化可能导致风险的增加，即资产组合达不到分散和降低风险的效果，或者一个分散良好的投资组合的风险可能会大于分散较差的投资组合的风险值，显然这与风险分散化理论相违背。
在实际应用中VaR模型存在一定的模型风险，VaR模型计量结果的可靠性要受模型假设前提合理性的限制。另外VaR方法是一种向后看的方法，对未来的损失是基于历史数据，并假定变量间过去的关系在未来保持不变，Beder（1995），Frey and McNeil（2002），Basak and Shapiro（2001），Szego（2005）指出VaR在实际应用中无法准确度量风险。由于衍生产品市场具有价格发现的功能，因此，Jorion（1995）和Campa and Chang（1998）提出采用期权隐含波动率的方法计算VaR。Ahn et al.（1999）研究了如何采用VaR作为风险测度管理期权风险。
由于VaR在理论上存在不足，特别是VaR对于一般的分布不满足次可加性，Artzner et al.（1999）提出了一致风险测度的公理体系。
定义2.3 风险度量ρ称为一致风险测度，如果它满足：
（R1）次可加性：对任意的X, Y∈G, ρ（X＋Y）≤ρ（X）＋ρ（Y）。
（R2）正齐次性：对任意的X∈G和λ≥0, ρ（λ X）=λρ（X）。
（R3）单调性：对任意的X, Y∈G，若X≤Y, a.s., 则ρ（X）≥ρ（Y）。
（R4）平移不变性：对任意的a∈R和X∈G, ρ（X＋a）=ρ（X）-a。
Artzner et al.（1999）给出了一致性风险测度的表示定理：
定理2.3 风险测度ρ是一致风险测度，当且仅当ρ可表示为
其中P为定义在Ω上的测度集合。
Delbaen（2002）讨论了一般测度空间的一致风险测度。一致风险测度在实际风险管理实践中有广泛应用：例如在情境模拟压力测试中，最大损失法指的是某一资产的风险测度等于各个情境下该资产的最大损失，显然最大损失法的思想同式（2.11）是一致的。世界各大期货交易所广泛采用的保证金计算系统，SPAN和TIMS，均采用了类似的思想(6)。同时理论上人们也提出了各种满足一致性风险测度公理体系的风险测度。
基于VaR仅仅考虑了某一分位点对应的损失，而没有考虑超过该分位点水平以上的损失，Rockafellar and Uryasev（2000）提出采用CVaR作为风险测度。CVaR考虑了超过VaR水平的损失，是未来损失超过VaR水平的条件期望。Rockafellar and Uryasev（2002）给出了一般分布情况下CVaR的严格数学定义。事实上可以证明，Rockafellar and Uryasev（2002）所提出的CVaR风险测度等价于Acerbi and Tasche（2002）所提出的期望损失测度（Expected Shortfall, ES），即
其中
若X是连续分布，则上式可以简化为
Rockafellar and Uryasev（2002）证明了CVaR是一种一致风险测度，并指出CVaR是α的连续函数，并且具有左右导数。
由于VaR不满足次可加性，因此它不是一致风险测度。同VaR相比，CVaR在理论上更加完善，它考虑了超过VaR水平以上的损失，并且是一种一致风险测度。但由于未来损失超过VaR的概率非常小，而CVaR度量的是未来损失超过VaR水平的条件概率，因而准确的估计CVaR需要大量的观测数据。
Yamai and Yoshiba（2002b）指出同VaR相比，CVaR更容易进行分解(7)和优化(8)。但是为得到相同的估计精度，CVaR需要更多的观测数据。Yamai and Yoshiba（2002a）指出CVaR一致于期望效用最大化和免于尾部风险的条件比VaR一致于期望效用最大化和免于尾部风险的条件更加宽松(9)。当分布具有肥尾特征，或者是资产收益具有尾部相关性时，VaR和CVaR都会低估风险，但VaR相对来说估计误差更加严重。
Yamai and Yoshiba（2005）从实际应用的角度对VaR和CVaR进行了比较，他们的结论主要有：
（1）期望效用最大化的投资者在采用VaR作为风险测度时可能会被误导，他们所建立的头寸很可能遭受VaR水平以上的损失。
（2）VaR的计算在极端波动的市场是不准确的。在资产价格发生极端波动，或者资产相关关系出现极端变动情况下，VaR可能会低估风险。
（3）投资者或者风险管理者可以采用CVaR作为风险测度来解决上述两个问题，因为CVaR考虑了VaR水平以上的损失。
（4）CVaR的有效性倚赖于估计的精度，而要达到相同水平的精度，CVaR比VaR需要更多的样本数据。
同CVaR类似的风险测度还包括TCE（Tail Conditional Expectation）、最坏条件期望WCE（Worst Conditional Expectation）、期望后悔ER（Expected Regret）和高阶期望损失ES（Expected Shortfall）。
按照Artzner et al.（1999）的定义，尾部条件期望定义为
最坏条件期望WCE定义为(www.daowen.com)
根据Artzner et al.（1999）和Acerbi and Tasche（2002）证明了有以下关系存在：
而当X服从连续分布的时候，式中的等式成立。
期望后悔事实上是一阶下偏矩。Testuri and Uryasev（2000）研究了期望后悔和CVaR之间的关系，指出一个最小化CVaR的投资组合，同样也最小化某一目标价值的期望后悔。反之，结论也成立，即一个最小化期望后悔的投资组合，同样也最小化某一置信水平下的CVaR。
随机占优理论基于期望效用函数理论，是人们在不确定环境下进行决策的理论基础。唐爱国（2003）在传统随机占优理论和Quiggin（1982, 1993）的广义期望效用函数基础上，提出了广义随机占优理论。在此基础上，唐爱国和秦宛顺（2003）提出了广义随机占优单调一致风险测度公理体系，并指出n阶期望损失作为风险测度满足广义随机占优单调一致风险测度公理体系，其定义为：
即CVaR事实上是1阶期望损失。
Acerbi（2002）所提出的谱风险测度，是在CVaR的基础上扩展起来的一类一致风险测度，这一类风险测度将风险管理者的主观风险偏好纳入到风险测度的定义中来，从而在一致风险测度和期望效用理论建立了联系。在谱风险测度定义中，通过“风险厌恶函数φ”来反映个体的风险偏好。
定义2.4 φ∈L1（[0, 1]）称作是可接受谱函数，如果φ满足
（1）φ是“正”的，即对于任意的I⊂[0, 1]，∫Iφ（p）dp＞0。
条件（1）和条件（3）是标准化条件，因此φ可以看作是一个权重函数，而条件（2）则反映了φ对于较坏的情形赋予了更大的权重。Acerbi（2002）证明了可接受谱函数和一致谱风险测度之间存在着一一对应的关系：
定理2.4 定义Mφ（X）为
其中x(p)=inf（u：P（X≤u）≥p）, φ∈L1（[0, 1]），则Mφ（X）为一致风险测度当且仅当φ是一个可接受谱函数。此时φ称作Mφ（X）的“风险厌恶函数”，相应的Mφ（X）称作φ的谱风险测度。
事实上，很容易推出CVaR是谱风险测度的一个特例。令
代入（2.17）式有
由Acerbi and Tasche（2002）得
由式可知，φ（p）在p∈[0, α]区间上均匀分布，而在其他区间取值为0，因此按照φ（p）生成的谱风险测度和CVaR是一致的，即CVaRα度量的是损失超过100α%置信水平的平均损失。但是，一般情况下，风险厌恶函数φ（p）对于分布p分位点赋予不同的权值。为了保证谱风险测度为一致风险测度，对于越大的损失，φ（p）赋予越大的权重。
容易得出VaR对应的谱函数φ（p）=δ（p-α）(10)。当p=α时，φ（p）→∞，当p≠α时，φ（p）=0。即VaR只关注的是α分位点的损失，而没有考虑其他情况下的损失。由于φ（p）不满足单调递减条件，因此VaR不是一个谱风险测度。
Cotter and Dowd（2006）讨论谱风险测度在期货保证金设定中的应用，他们采用的是指数形式的风险厌恶函数，其定义为
其中R＞0代表投资者的绝对风险厌恶程度。Cotter and Dowd（2007）详细讨论了指数风险厌恶函数的性质。
作为测度风险的一种有效方法，看跌期权具有非常直观的经济含义。Jarrow（2002）指出，公司为避免破产的保险费用等于以公司净资产为标的资产，执行价为0的看跌期权费，因此他利用该看跌期权费作为风险测度衡量公司破产风险。
但是看跌期权费并不满足Artzner et al.（1999）所提出的一致风险测度的平移不变性公理假设。具体讲，平移不变性要求增加a的资金将使得风险测度减少a，而看跌期权并不满足这一性质，增加a的资金使得看跌期权费减少，但是减少量小于a。因此，Jarrow（2002）放宽了Artzner et al.（1999）的一致风险测度公理假设，提出了看跌期权费所满足保险费风险测度公理假设，即
（I1）次可加性：对任意的X, Y∈G, ρ（X＋Y）≤ρ（X）＋ρ（Y）。
（I2）正齐次性：对任意的X∈G和λ≥0, ρ（λ X）=λρ（X）。
（I3）单调性：对任意的X, Y∈G，若X≥Y, a.s., 则ρ（X）≤ρ（Y）。
（I4）平移单调性：对任意的a＞0和X∈G，若X≤0且X≠0，则有ρ（X＋a）＜ρ（X）＜ρ（X-a）。
（I5）有界相关性：对任意的X∈G，若X≤0但X≠0且{X（ω）=0}≠φ，则有ρ（X）＞0。
Artzner et al.（1999）提出的一致风险测度中的齐次性公理假设认为风险测度随着风险头寸变化呈线性变化，即ρ（λ X）=λρ（X）。但Follmer and Schied（2002）指出在实际中这种线性变化关系往往不成立，风险头寸的变化对风险测度的影响往往是非线性的。例如，在考虑流动性风险时，较大的头寸往往会带来较大的流动性风险。因此，Follmer and Schied（2002）放宽了一致风险测度的公理假设，提出了凸风险测度公理假设。
定义2.5 风险测度ρ称作凸风险测度，如果ρ满足
（C1）凸性：对任意的X, Y∈G和0≤λ≤1, ρ（λ X＋（1-λ）Y）≤λρ（X）＋（1-λ）ρ（Y）。
（C2）单调性：对任意的X, Y∈G，若X≥Y, a.s., 则ρ（X）≤ρ（Y）。
（C3）平移不变性：对任意的X∈G, a∈R, ρ（X＋a）=ρ（X）-a。
Follmer and Schied（2002）给出了以下凸风险测度的表示定理：
定理2.5 设P为定义在Ω上的测度集合，则风险测度ρ为凸风险测度当且仅当存在一个惩罚函数α：P→（－∞，＋∞]满足
其中惩罚函数α满足对任意的Q∈P, α（Q）≥ρ（0）。
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