保险是转移风险的一种有效手段。保险中的基本概念是保险合约，一份保险合约最简单的形式就是给予投保人在风险事件发生时向保险公司索赔一定赔偿的权利。为了得到这份权利，投保人需要向保险公司支付保险费。因此，保险费可以看作是投保人为了转移风险所要付出的代价，即风险的价格。如何计算风险的价格一直是保险精算领域的核心问题。
由于保险是对未来可能发生的损失进行定价，因此传统的保险定价理论仅仅考虑的是资产未来潜在的纯粹损失（pure loss），而不考虑资产存在的潜在收益。因此，在本节，在没有明确指出的情况下，风险指的是保险风险，即不考虑资产未来存在的潜在收益对风险测度的影响以及相关的管理费用，仅仅考虑资产未来可能遭受的损失。因此，此处的风险X将恒为非负，并且当X＞0时，它代表正损失。令SX（x）=P（X≥x）代表X的生存函数，在不引起混淆的情况下，SX（x）简写为S（x）。
传统的风险定价函数等于潜在损失的数学期望，即给定保险风险X，对应的风险定价函数为ρ（X）=E（X），这样的风险定价函数又称为纯粹风险定价函数（Pure risk premium或Net risk premium）。纯粹风险定价函数广泛应用于精算领域，这是因为保险公司认为当所出售的保险产品足够多时，根据概率理论的大数定理，风险事实上可以被充分分散掉，保险公司面临的损失在平均意义上等于损失的期望。
纯粹风险定价函数可以进一步推广为期望价值风险定价函数（Expected value risk premium），即ρ（X）=（1＋θ）E（X），其中θ≥0。期望价值风险定价函数在纯粹风险定价函数的基础上考虑了额外的风险补偿。由于期望价值风险定价函数概念简单并且容易理解，因此广泛地应用于保险经济学中。
上述风险定价函数尽管概念简单直观，但由于没有考虑风险本身的波动而备受争议。因此人们提出了一系列考虑风险本身波动的风险定价函数，如ρ（X）=E（X）＋αvar（X），或ρ（X）=E（X）＋α σ（X），其中α＞0, var（X）和σ（X）分别代表X的方差和标准差。因此前者称作方差风险定价函数，后者称作标准差风险定价函数。Buhlmann（1970）详细研究了方差风险定价函数，并且指出它可近似等于零效用风险定价函数（见式2.2）。标准差风险定价函数也被广泛应用于财产保险中，而Denneberg（2002）则指出在计算风险价格时，标准差应该用绝对离差代替。Schweizer（2001）和Møller（2001）考虑了方差风险定价函数和标准差风险定价函数在动态金融市场中的应用。
利用von Neumann and Morgenstern（1944）期望效用函数导出风险定价函数的方法最早可以追溯到Borch（1968），而开创性的工作则是Buhlmann（1970）所引入的著名的零效用风险定价函数。假设保险公司的初期资金为W，由于要承担投保者转移过来的风险，因此保险公司在未来可能会遭受某一不确定的损失X。保险公司对风险X的定价应该使得它对于是否承担这个风险是无差异的。假设u为保险公司的效用函数，并且u是财富的增函数和凹函数，则保险定价函数ρ（X）应当满足以下方程
式（2.1）的左边表示保险公司对风险X不提供保险时的效用，而右边表示保险公司对风险X提供保险时的期望效用，因此ρ（X）的取值使得保险公司在是否提供保险之间无差异，因此称作保险公司的无差异价格，金融理论又称其为保险公司的保留价格（reservation price）。若令v（x）=u（W＋x），则式（2.1）可以写为
ρ（X）就是所谓的零效用风险定价函数。
当v（x）具有指数形式时，即v（x）满足
则式（2.2）的解为（见Gerber（1974））
其中ρ（X）=a-1lnE（eaX）又被称作指数风险定价函数，Goovaerts et al.（2003）指出指数风险定价函数具有很多很好的性质，包括
性质1：对任意的X, Y∈g，若X和Y相互独立，则ρ（X＋Y）=ρ（X）＋ρ（Y）。
性质2：若X≤cxY(1)，则ρ（X）≤ρ（Y）。
性质3：ρ和具体采用的货币单位无关。
性质4：若（X, Y）比（X′, Y′）“更加相关”(2)，则有ρ（X＋Y）≥ρ（X′＋Y′）；并且只有当（X, Y）和（X′, Y′）具有相同的联合分布时，等式成立。
由性质1和性质4还可以推出以下结论：
性质5：若X和Y正象限相依(3)，则有ρ（X）＋ρ（Y）≤ρ（X＋Y）。
指数风险定价函数被广泛应用于保险定价中，Promislow and Young（2002）和Young（2003）采用指数风险定价函数对保险产品进行定价，Musiela and Zariphopoulou（2002）采用指数风险定价函数对非完备市场中的金融产品进行定价。
另外一种刻画个体在不确定性情况下的选择理论为Yaari（1987）所提出的对偶理论，von Neumann and Morgenstern（1944）所提出的期望效用函数是概率的线性组合，而对偶效用函数则是将个体效用函数表示为财富的线性组合，即
其中h为递增和凸函数，并且满足h（0）=0和h（1）=1。可以证明，此时式（2.2）的解为
其中g（s）=1-h（1-s）。显然，g（s）是一个单调增函数，并且满足g（0）=0, g（1）=1。
定义2.2 若函数g：[0, 1]→[0, 1]是单调增函数，同时满足g（0）=0, g（1）=1，则称函数g为扭曲函数。
式（2.6）中的函数g为扭曲函数，因此称由式（2.6）定义的风险定价函数为扭曲风险定价函数。式中，我们考虑了X＜0，即资产未来的潜在收益。若假设X代表纯损失，即X≥0，则式（2.6）可以写为：
扭曲风险定价函数不但可以通过效用函数方法推导出来，它也可以通过公理化的方法求得。由于这一工作是Wang et al.（1997）所做的，所以扭曲风险定价函数又称作Wang风险定价函数。(www.daowen.com)
求出风险价格函数的另一种方法是采用公理化方法，即列出风险的价格函数所需要满足的几个公理性假设，然后根据这些假设来确定风险价格函数具体的函数形式。Wang et al.（1997）通过公理化方法提出了Wang风险价格函数，他们指出一个合理的风险价格函数应该满足以下五条性质：
性质1 独立性（Independence）：在给定的市场条件下，风险X的价格ρ（X）仅依赖于X的分布。这一条件表明，风险价格只和风险的概率分布有关，而和风险是由什么因素引起的没有关系。
性质2 单调性（Monotonicity）：给定的2个风险X和Y，若对于任意的ω∈Ω, X（ω）≤Y（ω），则ρ（X）≤ρ（Y）。这一条件的含义为若风险X在未来各个状态下的损失都不超过Y，那么风险X的价格低于风险Y的价格。
性质3 共单调可加性（Comonotonic additivtiy）：若风险X和Y是共单调的(4)，则有等式ρ（X＋Y）=ρ（X）＋ρ（Y）成立。这一条件的合理性在于，一方面由于投资组合的风险分散效益，ρ（X＋Y）不会超过ρ（X）＋ρ（Y）；另一方面由于X和Y是同方向变动，它们之间的风险是不可分散的，因此ρ（X＋Y）至少等于ρ（X）＋ρ（Y）。
性质5 风险负荷合理性（No unjustified risk-loading）：若X∈G满足P（X=c）=1，其中c≥0是一个常数，则有ρ（X）=c。
满足上述5条性质的风险定价函数ρ称作Wang风险定价函数，Wang et al.（1997）给出了Wang风险定价函数的如下表示定理：
同时若风险集合G包含所有服从伯努力二项分布的随机变量，则函数g是唯一的。
Wang et al.（1997）证明了Wang风险定价函数具有以下性质：
性质1：ρ（X）≥E（X）对任意的X∈G都成立，当且仅当对任意的u∈[0, 1], g（u）≥u。
性质3：对任意的a≥0, b≥0, ρ（ax＋b）=aρ（x）＋b。
性质4：当g为凹函数时，ρ满足对任意的X, Y∈G, ρ（X＋Y）≤ρ（X）＋ρ（Y）。
Wang风险测度和Artzner et al.（1999）所提出的一致风险测度存在一定的联系，并且VaR和CVaR都可以表示为Wang风险定价函数的特例（见Lynn Wirch and Hardy（1999））。根据函数g的不同，Wang（1996）列举了一系列Wang风险定价函数的特例。Young（1999）讨论了Wang风险定价函数下的最优保险政策问题。
前面采用的风险定价方法所存在的一个缺点是它们并没有考虑交换风险的市场，没有考虑市场参与者的相互作用。均衡模型方法考虑到转让风险的个体同承担风险的个体之间的风险交换，通过竞争均衡模型对风险进行定价。
若市场参与个体所面临的风险为Xj, j=1, 2，…, n，且第j个个体的效用函数为指数效用函数形式（见式2.3），相应的风险厌恶系数为aj＞0。个体通过风险交换，以使得自己的期望效用函数最大化。假设市场满足出清条件，即市场处于均衡状态。Buhlmann（1980）证明了以下定理：
定理2.2 若市场参与个体效用函数满足上述假设，且市场处于均衡状态，则风险X的价格可表示为
Esscher风险定价函数除了应用于保险精算领域（如Kahn（1962）），Gerber and Shiu（1994）讨论了Esscher风险定价函数在期权定价中的应用。Aase（2002），Gerber and Pafumi（1998）与Cummins（1990）对风险的均衡模型定价方法进行了详尽的综述。
免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。
