三元一次方程组解法的基本思想是划归和消元，但针对不同的问题，给出以下几种类型的题目：

类型1：轮换对称式

例1：解方程组

对于这个方程组，x，y，z分别在三个方程组中轮换出现两次，并且系数都相同，地位是对称均等的，所以称此方程组是轮换对称式方程组。对于此类方程组的解法非常简单，只要把①②③三个方程式相加，即①+②+③得：2（x+y+z）=6，即x+y+z=3④，然后将④分别减①②③即可得到x，y，z，或者把①②③分别代入④亦可求解。

解：①+②+③化简得：x+y+z=3④

④-①得：z=2

④-②得：x=1

④-③得：y=0

∴　原方程组的解为

对于轮换对称式方程组还有很多变形，如等都可以用轮换对称式方程组的解法进行求解，将三个方程的左侧相加，得到x+y+z=k，然后与①②③做减法或者代入求值。对于这种方程组要仔细观察方程组左侧的字母及其系数，若相加之后字母的系数都相等一般可采用本方法。当然，对于轮换对称式方程组还有很多解法，如将③与②相减即可得到x-y=1，与①组成关于x，y的二元一次方程组也可解得。所以，做题的关键是观察、消元。

类型2：系数相同（相反）式或绝对值相等式

例2：解方程组

解三元一次方程组的基本思想是消元，而消元必经的过程就是把某个未知数的系数化成相同或者相反，利用加减消元化为二元一次方程组，所以这也是后面求解系数不相同的三元一次方程组的必经之路。对于类型2这种经过两次加法或者减法即可化为二元一次方程组，一般采用系数相反的解法，这样做的是加法运算，不易出错。

解：①+②得：4x+4z=8

即x+z=2④

②+③得：5x-8z=36⑤

④×5：5x+5z=10⑥

⑥-⑤：13z=-26

解得：z=-2

代入④得：x=4

代入①得：y=0

∴　原方程组的解为

类型3：缺项方程组

例3：解方程组

缺项方程组是指三个方程式中，有某个方程式只含有两个甚至一个未知数的一个方程组，其实类型1中的轮换对称式方程组是特殊的缺项方程组，即三个方程式中都只含有两个未知数的方程组。对于缺项方程组，仍然采用消元的方法，只不过相对于类型2将三元化为二元的过程中只需进行一次加减即可得到二元一次方程组。(www.daowen.com)

解：①+②得：4x+5z=13④

④-③得z=1

z=1代入④得x=2

z=1，x=2代入①得y=-3

∴　原方程组的解为

类型4：比例式方程组

例4：解方程组

由于方程组中存在一个比例方程，故称之为三元比例式方程组，其比一般的三元一次方程组少一个方程，原因在于三个连比的比例式可以转化为两个方程。比例式方程组的解法很多，可以把①转化为两个方程，但这样在求解的过程中比较麻烦，计算量比较大。所以，选择第二种方法，即根据比例的特性转化为分数比例式，并设其为k，即，这样分别表示出x，y，z再代入②即可解得方程组。

解：由①得：

即x=7k，y=9k，z=2k代入②得k=1

所以，x=7，y=9，z=2

∴　原方程组的解为

类型5：系数都不相同（或相反）

例5：解方程组

对于三个未知数x，y，z在三个方程中没有完全相同或者互为相反数的情况，这时需要将方程乘以一个系数并做加减法，由此得到二元一次方程组，这种类型的方程组是最难的，计算量大也是学生最容易错的一种题型。对于这类题型要不断地训练思维，厘清思路，加强计算能力的训练。同时，希望借助三元一次方程组的解法提高学生的思维能力和运算能力。

解：③-②得：y-z=2④

②×2：2x-2y+4z=-2⑤

⑤-①：5y-3z=8⑥

④×3-⑥：y=1

将y=1带入④得：z=-1

将y=1、z=-1带入方程②得：x=2

∴　原方程组的解为

以上五种情况是针对三元一次方程组的不同形式给出的几种特殊解法。当然，对于任何一种三元一次方程组都可以按照类型5的方法，通过多次的加减消掉一个未知数的方法进行。通过求解三元一次方程组，可提高学生思维的能力和运算能力。但对于不同层次的学生侧重点是不同的，下面就三元一次方程组的解法，在不同层次学生背景上作进一步的探究。