在《中国学生发展核心素养》中所讲的“素养”并不是一个普通的概念。美国曾对1311位科学家进行了为期5年的追踪调查，从他们所获得的事业成就特别是创新成果来衡量，得出学历和经历丰富的“通才”往往容易取得更大成就的结论。这里的“通才”不应该仅仅理解为知识面的宽广，更包括人的综合素养。

提升认知深度，不是仅仅学习专业领域知识就可以，相反，要多元跨界。项目研究具有综合性，往往会融合一门学科的多个知识，也会融合多门学科的不同知识。

1.用项目打通边界

（1）打通单元知识的边界

首先，我们可以设计一些能够打通数学学科中不同领域知识边界的项目。

例如低年级学生学习了《角的认识》之后，教师可以设计这样的项目：“阿拉伯数字为什么长成现在这样呢?”这一任务可以激发学生的好奇心。教师可以先做一些提示（如图8），然后吸引学生去研究其余的阿拉伯数字（如图9），相信最后学生一定会有一种惊讶的感觉。这一富有趣味的、独特的项目研究，在练习角的认识的同时打通了数与形的边界。

图8

图9

（2）打通学科知识的边界

其次，我们还可以设计一些能够打通不同学科知识边界的项目。《新媒体联盟地平线报告》（2015基础教育版）中指出，当前基础教育的技术应用有六大趋势，其中之一是设计跨学科的学习项目，开展基于项目的学习，突破传统课堂教学的限制，让学生自如地从一个学习活动转向另一个学习活动。

肖川在《唤醒教师课程意识》一文中指出，分科教学模式，适宜于学科知识的高效、系统掌握，但也存在学科壁垒森严、与学生真实的生活场景不符的弊端。真实的生活场景涉及的知识是融合的，需要学生能够“自如地从一个学习活动转向另一个学习活动”。项目研究很多时候需要打通学科之间的边界，促进知识之间的融通，变原本孤立的、碎片化的、僵化的知识为分享的、综合的、灵活的知识。

例如苏教版数学六年级上册“综合与实践”《树叶中的比》，我们先布置课前观察树叶和查阅资料的任务，虽然学生查到的基本上都是一些关于树的生长年限、适应气候、药用价值等方面的知识，大都与数学无关，但增加了学生的认识。由此，我们对教材进行了改造，把直接研究“树叶中的比”用“制作树叶标牌”的项目化任务进行包装，赋予知识实际的“用处”，驱动学生用数学的眼光观察树叶——用数学的方式来介绍不同的树叶。（详见第三章《做成项目，给综合实践活动装上“引擎”》一文）当然，我们还可以跨界到美术——创作树叶画（如图10）或欣赏树叶画（如图11），给学生美的享受。

图10

图11

又如撰写调查报告。原苏教版语文六年级下册教材中有此习作任务，而数学教材上有相关的统计图表知识。对此，我们可以采用“T-T制”（Team-Teaching），促成数学教师和语文教师的合作，设计“学生吃零食调查”的研究项目，让学生看到调查报告和统计图表的用法，而语文中调查报告的写法和数学中统计图表的看法则成了其中的技能要求。

再如苏教版二年级下册数学教材中有《认识方向》一课，可以发现与这一知识有关的内容在原苏教版语文教材中更多，如下表所列：

（续表）

除了语文教材，苏教版科学教材上也有很多相关内容，例如三年级下册的《风的方向》、五年级上册的《太阳和影子》等，而“绘制导览图”还与美术课有关。鉴于此，我们可以把数学中《认识方向》以及之后的《确定位置》等课与语文、科学、美术等教材统整起来，设计一个诸如“实地绘制导览图”的综合项目活动。这样的学科融合可以使知识融通，提高学习效率。

科学教材与数学教材的融合有着很大的开发前景，又如科学四年级下册的《物体运动》中的“运动的方式、运动的快慢”可以与数学三年级上册的《平移、旋转》和四年级下册的《常见的数量关系》中的“速度、时间、路程”等知识整合，科学五年级下册的《神奇的机械》中的“斜坡的启示”可以与数学四年级上册的综合实践《怎样滚得远》整合，科学五年级下册的《形状与结构》中的“搭支架”可以与数学四年级下册的《三角形的稳定性》整合……

（3）打通学段知识的边界

融合性项目研究任务，涉及的知识可能还会跨出小学阶段的学科范围。例如隆亭实验小学吕丹萍老师设计的“为什么常见的杯子是圆柱体的?”这一研究项目，学生给出的研究结果就不限于数学知识，还涉及物理学、美学等领域的知识——

1.使用方面，圆柱体杯子拿起来顺手一些，长方体的杯子拿起来觉得不顺，这种感觉和我们握笔的感觉相同。在我们写研究计划的时候，天天是记录员，我们发现她写得特别慢，问她为什么，她说今天这支笔怪怪的，握起来很不顺。我们观察了那支笔，原来那笔握笔的地方有棱角，和我们平时用的笔不同。天天这才恍然大悟：“原来是因为这笔下面不是圆柱形的，当初我看到它下面有棱角，觉得特别有个性，好奇才买的，原来好看不中用啊！”

2.通过上网查阅发现：圆柱体的弧面在手抓住时与手的接触面积较大，所以摩擦力会更大，更易于我们使用，不易滑落。在使用有棱角的杯子时人体易被棱角划伤，特别是嘴唇这样脆弱的地方，所以杯子有棱角是一大麻烦。圆柱体没有棱角，而且圆柱体的弧面和底部的圆形对力都有发散的作用，这就让圆柱体的坚硬度增强，不易损坏。喝水时，杯沿与嘴唇的接触处如果是圆形，杯子会与嘴唇更好地贴合，增加嘴唇的舒适度，而且水会轻易地进入嘴中；如果是长方体，水会从一个平面流下，而嘴只能接住中间的一部分，这样就会有一部分水通过嘴唇与棱角之间的空隙流出来，很不方便。

3.安全方面，我们拿同是塑料做的圆柱杯子和长方体杯子做实验，把它们从同样的高度、用同样的力摔在地上，会发现圆柱体的完好无损，而长方体的有裂痕。我们向科学老师请教其中的道理。他告诉我们：圆柱体表面光滑，掉在地上时力不会集中到一点，而有棱的柱体就不一样了。

4.美观方面，圆柱体的杯子看起来更漂亮，我们收集了一些漂亮的圆杯子。

5.在所有的立体图形中，在容积相同的情况下，圆柱体的表面积最小，也就是说虽然使用了较少的材料，容积却不小，是省材的首选。在如今这个物品讲究批量生产的社会，这么做既减少生产成本，也符合低碳环保的要求。

我们还可以以“活动节”或“活动周”的形式进行。这样一来，不仅研究内容和研究方式更加广泛，而且在参与学科和参与人员上更加广泛。

例如北京亦庄实验小学设计了全学科参与以“帽子”为主题的项目学习，统整于“帽子周”活动中。语文方面，搜集与帽子有关的成语，读《帽子魔法师》；数学方面，研究帽子形状，计算面积；科学方面，制作帽子；美术方面，研究各民族帽子造型，画帽子；音乐方面，学唱墨西哥《帽子歌》；舞蹈方面，跳《帽子舞》。最后，在星期五，全校师生都戴着自己制作的帽子到学校举行一场欢乐帽子大联欢。

2.用项目走出边界

《2017地平线报告》梳理出的六项基础教育的发展动向中提到开展实景体验学习。项目研究常常是情景化学习，追求实景体验，很多时候的设计融合了社会、自我、自然三个维度，所以，它能够有效帮助学生走出书本的边界，走向生活，走出教室的边界，走向社会，变原来的“教材是我们的世界”为现在的“世界是我们的教材”。此时，传统的课前、课中、课后的顺序已经被打破，课内、课外的边界变模糊，“去中心化”的结果，是让学生个体成为有主体价值的“自由研究者”。它打破了以“教师、教室、教材”为中心的传统教学模式，尊重学生的兴趣，真正地实现了以学习者为中心。

（1）促成“PTA联合体”

现代心理学研究发现，知识并非完全以抽象概念的形式存在于大脑中，知识储存于人类的身心体验中。也就是说，学生的学习还需要在实践中感知和内化知识。学生需要理解世界万事万物的相互关联，这为未来学校强化实践教育提供了认知科学的理论基础。

例如暑假学生经常跟着父母出去旅游，以前，做攻略都是父母的事情，当学生具备一定的知识后，我们就可以设计“制订旅游计划”的项目任务，指导学生通过携程旅行、同程旅游等网站或App了解机票、住宿费用，通过面包旅行、马蜂窝自由行等网站或App了解当地的旅游景点、风俗民情，通过百度地图等搜索并确定合理的路线，进而制订出详细的自由行方案，预算大致费用，并让他们尝试着网上订票、订酒店。如此项目研究，不仅让学生运用了所学的数学知识，而且运用了历史、地理以及网络等知识，提高了学生的生活能力。

法国巴黎第十大学社会学教授让·波德里亚说：“没有哪种幸福可以胜过旅行的自由。因为仅仅活着是不够的，还应当穿越生活。”同理，学生的学习也应“穿越生活”，在旅途中学习，只要我们留心，处处有教育资源可以用来设计项目活动。(www.daowen.com)

这可以是有主题有计划的游学，例如“跟着人民币去旅行”：1元杭州西湖，5元泰安泰山，10元宜昌三峡，20元桂林漓江，50元拉萨布达拉宫，100元北京人民大会堂。

也可以在旅游中随机生成学习，例如有一位家长暑假带着上小学的儿子去杭州游玩，发现“西湖天下景”亭亭柱上悬有一副楹联：山山水水处处明明秀秀；晴晴雨雨时时好好奇奇。儿子对其中的叠字感到惊奇，家长趁机讲解这种重叠手法，帮助孩子理解中华优秀传统文化，然后让孩子寻找语文中的这种重叠现象，并拓展数学中的重叠现象——“3×4=12；33×34=1122；333×334=111222；3333×3334=11112222；……”有意思的是，这副叠字联也是回文对，反过来读同样流畅自然：“秀秀明明处处水水山山；奇奇好好时时雨雨晴晴。”在孩子意犹未尽之时，这位家长转而讲解这种回文手法所呈现的对称美，然后给孩子布置“寻找生活中的对称美”的研究项目。结果孩子不仅找到了语文中许多的回文诗，还找到了数学中的“12=1；112=121；1112=12321；11112=1234321；……”进而又找到了“21×36=63×12；32×46=64×23；62×39=93×26；……”等算式，发现当算式中的两个两位数个位上的数相乘的结果等于十位上的数相乘的结果时，等式才成立。此外，他还找到了美术中对称的图案、生活中对称的建筑……

在此，学校教育与家庭教育不再各自为界，得到了融合，我们不妨组建父母教师协会（Parent-Teacher Association，简称PTA），来共同设计、组织和支持孩子开展更大范围的项目研究。

例如除了“妈妈有多少根头发?”的项目，柏庄实验小学的郑静老师还设计了“一根头发的力量”的项目，下面是学生的一份数学研究报告——

一、任务缘起

同学的疑惑：“一根那么细的头发当然只能吊起几克或十几克的物品，想想就知道了，我们老师还让我们做实验说明，真是奇怪。”

老师的回答：“要用事实来证明，不能只是猜测。”

二、研究过程

我先分别拿了一根妈妈的、姐姐的还有我自己的头发放在桌子上，再拿出大约重10克、65克、100克、150克、240克、300克等的东西开始做实验：我先用姐姐的头发吊重10克的物品，很容易就吊起来了，接着吊重100克的物品，我本来以为头发会立即断掉，可是出乎我意料的是，姐姐的头发牢牢地把它吊起来了，我还开心地晃了两圈，还是没有断，真是好神奇啊！于是我又吊了重240克的物品，心想这次头发一定会“粉身碎骨”了，可是结果让我大吃一惊，仍然吊了起来。真没有想到一根头发的力量这么大！我想看看我的头发怎么样，就吊了重150克的物品，也吊了起来，但是吊重240克的物品的时候我的头发断了。这是怎么回事？我又用妈妈的头发吊重100克的物品，我认为一定能吊起来，可是妈妈的头发很容易就断掉了。为什么会这样呢？

我突然想到上网求助，便上网查找有关资料。哦！原来头发是由一种超乎寻常的材料构成的，其内部构造相当惊人，许多化学纤维都是参考头发结构制成的。头发有很强的张力与韧性，但经过卷、烫后的头发受力变差，这也就是妈妈的头发这么脆弱的原因。

三、研究结果

数据说明：一根头发能吊起40—270克的物品，那么，一个人的所有头发差不多能吊起6吨的物品，相当于吊起一头成年亚洲象，真是太惊人了！

（2）促成“FSC联合体”

知识是没有边界的，学习也是没有边界的，生活是大课堂，社会是大项目。现在有许多社区公益机构面向学校开发了社会实践课程，所以，除了成立PTA联合会，我们还可以成立更大范围的FSC联合会（F—family，S—school，C—community）。

例如“水地图”是根与芽环境教育项目中的一项，意在提高青少年对湿地生态环境的认识，了解并发掘湿地和人们生活的关系。我们可以以此设计项目研究，让学生在调查、采访、摄影、阅读、制作等活动中，将观察记录以“水地图”的形式展现出来。这样的项目研究不仅具有学习意义，而且具有生活意义、社会意义，有助于学生从“书本人”走向“社会人”。

项目研究不仅可以使所学知识在实景中得到很好的应用，有时候还能让学生获得一些生存技能。例如我们可能会遇到这样的情形：走在陌生的地方，迷失了方向，又找不到人问路，想用手机导航吧，手机又不争气，没电了，还没带指南针，此时，怎么办?我们可以用手表！虽然手表不是指南针，但我们可以像野外探险者一样，用它确定大致的方向——

用手表找方向的口诀简单又好记：“时数折半对太阳，12指的是北方。”把手表摘下来，放到水平位置，看看现在的时间，按照24小时制的时间除以2。比如，现在是14点30分，除以2就是7点15分，将7点15分的方向对准太阳，12点钟的方向就是北方。

用手表测方向的原理是什么呢？我们知道中国古代有一种计时工具日晷。日晷由晷针和带刻度的晷面组成，在阳光下，晷针在晷面上会出现投影，这个投影指向哪个刻度，就是什么时间。用手表来测方向的原理和日晷的工作原理正好相反，它是利用时间和太阳来测定方向的。

地球每天自西向东自转一周，所以从地球上观察，太阳每天早上从东方升起，晚上从西方落下。因为这种现象是地球自转造成的视觉效果，所以天文学上把太阳的这种运动叫作周日视运动。太阳运动的路径可以看作一个巨大的表盘，时针所指的方向就是太阳所在的位置。人们所戴的手表就可以看成是这个巨大的天然时钟的“迷你版”。只不过地球24小时自转360°，一小时转15°，而手表上的指针每天旋转720°，每小时旋转30°，所以我们用手表和太阳测方向时，需要先把时间换算成24小时制，然后再除以2。

如果把上述生存技能开发成项目研究，所涉及的知识不仅包括数学，还涉及天文学。通过这样的项目研究，学生不仅学到了知识，还学到了本领。

（3）促成“PYP联合体”

知识融合、项目融合的更高形态是课程融合，此时，数学只是其中的一个方面或一个层面。在课程融合上，我们可以借鉴国际文凭组织为3～12岁学生设计的PYP（Primary Years Program）课程（PYP的六组学科领域：语言、人文、个人/社会/健身教育、数学、艺术、科学技术）以及当下流行的STEM课程（STEM指科学、技术、工程、数学）。STEM的教学理念是引导学生融合多领域的知识与技能去解决现实世界的问题，积极为学生建构一条“学习者中心，为融合取向”的“4D”学习路径，即“发现问题Discover—设计解决方法Design—利用科学技术和数学知识实施解决方法Do—将解决方法进行传达Deliver”，促进学生的认知发展。

学校和社会不仅是一个物理空间，也是一个文化空间、心理空间，我们应该打通它们之间的壁垒。从数学出发走出边界，不仅可以走进现实世界，还可以走进心理世界。因为现实世界中的很多社会现象，不仅涉及数学知识，往往还涉及心理学知识。

例如我们可以引导学生去发现和研究“为什么豪华汽车的型号为180、200、400，而不是奇数呢?”这里面就涉及心理学知识：整数10让人感到平衡、安全，回到了常态。对于日常用品来说，可分的数字比不可分的数字更有吸引力。一种洗发水的型号如果是24会比是31好卖，因为人们从上小学起就对24更加熟悉，而31是一个质数，不在乘法表中。一看到24、36这样的数字，我们潜意识中会想到它们是4和6、6和6的乘积，这会让我们感觉很舒服，我们会错误地以为是那种产品给我们带来了这种舒适感。

可以说，心理学中的数学在生活中经常能够遇见，设计这样的项目研究任务，不仅可以让学生巩固数学知识，还可以让他们领略一些心理学知识，学到一些生活知识。例如“当你拥有一件物品之后，你对这件物品的评价会高于你没有拥有它时”，这是2017年诺贝尔经济学奖得主理查德·塞勒教授的“禀赋效应”理论。想要理解“禀赋效应”，得先了解“行为经济学”中另一个更基本的概念“损失厌恶”——

假设你今天早上出门上班时的“心情满意值”是100，忽然，你捡到一个大皮夹子，里面有100元钱，“心情满意值”迅速上升50%，达到150。可是乐极生悲，你迟到了，扣工资100元，“心情满意值”下降50%，变成75。一得一失，钱没有任何变化，但“心情满意值”却从100变成75。

有人会说，这个计算有问题，为什么“心情满意值”不是加减某一个值呢，如果那样算，“得而复失”就没有任何变化了。这就问到点子上了。

好比同样是捡到100元，一个百万富翁和一个乞丐的感觉完全不同，我们拥有的东西是我们价值判断的起点。所以“心情满意值”的变化不是加减某一个值，而是乘除一个比例。就像我们拿1万元炒股，亏损10%，再盈利10%，就变成了9900（反过来也是一样），凭空少了100元。

上面的例子证明了“投资决策心理”中最重要的理论之一——“损失厌恶”：得到一样东西的快乐，通常小于失去一样东西的痛苦，所以我们不喜欢冒险，宁愿放弃可能得到的快乐去维持现状，也不愿承受失去的痛苦。

上面对“禀赋效应”理论中“损失厌恶”概念的讲解，就涉及百分数的计算问题，这样的题目小学六年级学生经常做。不过，在这样一个包含有心理学知识的项目研究中“混合学习”，与单纯地解答一道数学练习题相比，无疑前者更有意思也更有意义。如此，我们设计的任务或许会产生大脑、心理、经验和环境四个维度的“混合动力”来强劲地驱动学生的学习。

项目研究有助于开拓学科教学的全纳视野，实现学生的全息学习，最终指向全人发展。全纳视野是指学习无处不在（主要指超越课堂的泛在学习，如社区学习）、无时不在（主要指超越现实的虚拟学习，如互联网学习）、无人不在（主要指超越专业教师的学伴、家长、社区人员等的多哺学习）。如此全纳视野的学习，有助于将学生“对知识的掌握”提升为“对世界的认识”，进而更有效地实现“教学生认识世界”的目标。

项目研究，特别是一些宽主题、跨学科的项目研究，学生需要花费很多时间，但不是浪费时间，卢梭曾经说过，最重要的教育原则不是爱惜时间，而是浪费时间。同样，“慢”教育需要这样的时间“浪费”。