一、选择题：每道小题4分，共40分.

1.D [解析] 由极限商的运算法则可得

.故选D.

2.C [解析] y=x⁴，则y′=4x⁴−1=4x³，故选C.

3.B [解析] y=x+lnx，则，，故选B.

4.A [解析] y=sinx，则y′=cosx，

y′′=（y′）′=（cosx）′=−sinx，故选A.

5.B [解析] ，故选B.

6.D [解析] 积分区间[−1，1]为对称区间，被积函数x⁵为奇函数，由定积分对称性质可知

故选D.

7.D [解析] 求时，将x认定为常量，z=arcsinx+e^y，因此

故选D.

8.A [解析] 在空间直角坐标系中方程x²+y²=1中缺少变量z，因此它表示的曲面为柱面，故选A.

9.C [解析] z=x²−3y，则

故选C.

10.A [解析] 将方程y′=2y分离变量，

故选A.

二、填空题：每道小题4分，共40分.

由于f（x）在点x=0处连续，因此存在，

13.4x−2 [解析] 点（1，2）在曲线y=2x²上，

y′=4x，y′|_x=1=4，

过点（1，2）的切线方程为

y−2=4（x−1），y=4x−2.

14.2e² [解析] y=e^2x，则y′=（e^2x）′=e^2x（2x）′=2e^2x，y′|_x=1=2e².

15.（−1，1） [解析] ，则y′=x²−1.令y′=0，得x₁=−1，x₂=1.当−1<x<1时，y′<0，函数y单调减少.

16.arctanx+C [解析] 由不定积分基本公式可知

17.1 [解析]

18. [解析] 所求直线与已知平面垂直，因此直线的方向向量与平面法向量平行.可知直线方向向量s=（2，−2，3）.由直线的点向式方程可知所求直线方程为

即

19.0 [解析] 由二元函数极值的必要条件可知，若点（x₀，y₀）为z=f（x，y）的极值点，且，在点（x₀，y0）处存在，则必有

由于z=f（x，y）可微，则偏导数必定存在，因此有

20. [解析] 方程为可分离变量方程.

dy=（x+1）dx，(www.daowen.com)

两端分别积分∫dy=∫（x+1）=dy，.

三、解答题：共70分.

21.解法1：

解法2：

22.解法1：方程两边对x求异，得

即

故

解法2：设F（x，y）=x²+3y⁴+x+2y−1，

则，

23.解法1：y′=e^x+xe^x=（1+x）e^x，

令y′=0，得x=−1.

当x<−1时，y′<0；

x>−1时，y′>0.

故极小值点为x=−1，

极小值为

解法2：y′=e^x+xe^x=（1+x）e^x，

令y′=0，得x=−1，

又y′′=e^x+（1+x）e^x=（2+x）e^x，

y′′|_x=-1=e⁻¹>0，

故极小值点为x=−1，

极小值为

24.解：

25.解：特征方程为

r²−9=0，

r=−3,r=3

其特征根为r₁，r₂=3，

故 通解为y=C₁e^-3x−+C₂e^3x.

26.解：由知两曲线的交点为（0，0），（1，1）和（−1，−1），则

27.解：因为所以

其中5x∈（−1，1），即.

28.解：在极坐标系中，D可表示为

则