一、选择题：每道小题4分，共40分.

1.A [解析] 当x→∞时，，sin2x为有界函数，由有界变量与无穷小之积为无穷小可知，，故选A.

2.B [解析] 所给函数为分段函数，x=1为分段点，在x=1的两侧，f（x）的表达式不同，应考虑左连续与右连续.

由f（x）在点x=1处连续，必有，因此a=-1.故选B.

3.D [解析] y=x²−e²，则y′=（x²）′−（e²）′=2x，故选D.

4.C [解析] y=e^−3x，则y′=（e^−3x）′=e^−3x（-3x）′=-3e^−3x，因此dy=y′dx=−3e−3xdx，故选C.

5.B [解析] ，则，.故选B.

6.A [解析] f（x）为连续函数，因此由可变上限积分求导公式可得，故选A.

7.D [解析] 由不定积分的基本积分公式可得，∫sinxdx=−cosx+C，故选D.

8.B [解析] z=x²y+x−3，求时，只需将y认定为常量，因此，故选B.

9.C [解析] 由正项级数的比较判别法可知，若，都为正项级数，且u_n<v_n.则

当收敛时，可得知必定收敛.故选C.

10.C [解析] 所给方程为可分离变量方程.分离变量，两端分别积分，即y=Ce^x，故选C.

二、填空题：每道小题4分，共40分.

11.e⁻¹ [解析]

12.0 [解析] 所给求极限的表达式为分式，其分母不为零，因此

13.e^−x [解析] y=e^−x，则y′=（e^−x）′=e^−x（−x）′=−e^−x，

y′′=（−e^−x）′=−e^−x（−x）′=e^−x.

14. [解析] ，.

15.x−x²+C [解析] ∫（1−2x）dx=∫dx−∫2xdx=x−x²+C.

16.2 [解析] .

17.cos（y−x²） [解析] z=sin（y−x²），求时，只需将x认定为常量.因此(www.daowen.com)

18.x−y+3z=2 [解析] 已知平面π₁：x−y+3z=1的法向量n₁=（1，−1，3）.所求平面π与π₁平行，则平面π的法向量n//n₁，可取n=（1，−1，3）.由于所求平面过点M₀=（1，−1，0），由平面的点法式方程可知所求平面方程为（x−1）−[y−（−1）]+3（z−0）=0，即x−y+3z=2.

19.4 [解析] D：−1≤x≤1，0≤y≤2为边长等于2的正方形，由二重积分性质可知（σ为区域D的面积）.

20.y=3 [解析] 由于y=f（x）可导，且点x₀=2为f（x）的极小值点，由极值的必要条件可得f′（2）=0.又f（2）=3，可知曲线过点（2，3）的切线方程为

y−3=f′（2）（x−2）=0×（x−2），即y=3.

三、解答题：共70分.

21.解：.

22.解：y=xsinx，

y′=x′sinx+x（sinx）′

=sinx+xcosx.

23.解：

24.解：方程的通解为

25.解：

26.解：D的图形见右图阴影部分.

（1）解法1 由，解得，于是

解法2

27.解：D在极坐标系下可以表示为

0≤θ≤π，1≤r≤2.

则

28.解：因为，

所以

（−∞<x<+∞）.