一、选择题

1.选A [解析] 当x→0时，sinx²～x²，因此，故选A.

2.选A [解析]

因为f（x）在x=−1处连续，因此，a=−2，故选A.

3.选D [解析] y=e−2x，y′=（e^−2x）′=e^−2x（−2x）′=−2e^−2x，dy=y′dx=−2e^−2xdx，故选D.

4.选A [解析] y=2lnx，，，故选A.

5.选C [解析] 由不定积分基本公式可知

6.选C [解析] x为f（x）的一个原函数，由原函数定义可知f（x）=x′=1，故选C.

7.选B [解析] ，故选B.

8.选C [解析] 故选C.

9.选B [解析] 由二重积分性质可知σ，其中σ为积分区域D的面积.此题

区域为半径等于1的圆，其面积σ=πr²=π.故选B.

10.选D [解析] 所给方程为可分离变量方程.

分离变量dy=−xdx，

两端分别积分∫dy=−∫xdx，

故选D.

二、填空题

11.e⁻⁶ [解析] 由公式可知，

12. [解析] 所求极限的表达式为分式，分母的极限不为零，因此

13. [解析] ，，

14.3^xln²3 [解析] y=3^x，则y′=3^xln3，y′′=（3^xln3）′=ln3⋅（3^x）′=ln3⋅3^xln3=3^xln²3.

15. [解析]

16. [解析] (www.daowen.com)

17.3x²y [解析] z=x³y+cosy+5，求时，认定y为常量，

18.x+2y−z−2=0 [解析] 所求平面与已知直线垂直，则平面的法线向量n必定与直线的方向向量s=（1，2，-1）平行.可取n=s=（1，2，-1）.又平面过点（1，0，-1）.由平面的点法式方程可知所求平面方程为

（x−1）+2（y−0）−[z−（−1）]=0，即x+2y−z−2=0.

19.0 [解析]

20.1 [解析] 所给幂级数为不缺项情形.，，，则收敛半径

三、解答题

21.解：.

22.解：y′=（x²）′e^x+x²（e^x）′=2xe^x+x²e^x=e^x（x²+2x）.

23.解：∫xsinxdx=x（−cosx）−∫（−cosx）dx=−xcosx+sinx+C.

24.解：y′′−3y′+2y=0，

特征方程 为r²−3r+2=0，

（r−1）（r−2）=0.

特征根为r₁=1，r₂=2.

方程的通解为y=C₁e^x+C₂e^2x.

25.解：z=xsiny，，，.

26.解：y=x³+2,y′=3x²,y′|_x=0=0.

曲线y=x³+2过点（0，2）的切线方程为

y−2=y′|_x=0（x−0），即y=2.

D的图形见右图阴影部分.

27.解：

28.解：由于

可知