一、选择题
1.选D [解析] 由公式,可知,因此选D.
2.选A [解析] 由于,又知f(x)在点x=0处连续,因此,可知a=3,故选A.
3.选B [解析] ,则,,故选B.
4.选B [解析] 由于y=cos4x,因此y′=(cos4x)′=−sin4x⋅(4x)′=−4sin4x.
dy=y′dx=−4sin4xdx,故选B.
5.选C [解析] 由于f(x)为连续函数,,可知,故选C.
6.选A [解析] 由于x2为f(x)的一个原函数,由原函数的定义可知f(x)=(x2)′=2x,故选A.
7.选C [解析] ,故选C.
或设t=3x,则dt=3dx,,故选C.
8.选A [解析] z=yx2+siny+3,求时,只需将x认定为常量,因此
,故选A.
9.选C [解析],故选C.
10.选D [解析] 由微分方程yy′=1,
分离变量 ydy=dx,
两端分别积分,故选D.
二、填空题
11.5 [解析] 12.10 [解析] 由于求极限的表达式为分式,且分母的极限不为零.因此
13. [解析] ,,则.
14.−cosx [解析] y=cosx,y′=−sinx,y′′=(−sin′)′=−cosx.
15.3ln|x+4|+C [解析] .(www.daowen.com)
16.3sin1 [解析] .
17.2yex+x [解析] z=y2ex+xy+3,求只需认定x为常量,则.
18. [解析] 所给直线的方向向量为(1,2,-1).所求直线与已给直线平行,则可取所求直线方向向量为(1,2,-1).由于所求直线过原点(0,0,0),由直线的点向式方程可知即即为所求直线方程.
19.0 [解析]
20. [解析] 所给幂级数为不缺项情形,an=3n,an+1=3n+1,,可知收敛半径.
三、解答题
21.解:解法1 利用等价无穷小代换
当x→0时,ex−1~x,sinx~x,可得
解法2 利用洛必达法则
22.解:
23.解:
24.解:,相当于(),q(x)=x.
由通解公式可知
25.解:z=x2ey,则,,
26.解:y=lnx,,,则曲线y=lnx过点(e,1)的切线方程为
,即y=x
D的图形见右图阴影部分.
27.解:在极坐标系下,D可以表示为0≤r≤1,,则
28.解:由于,可知−∞<x<+∞.
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