理论教育 高等数学第九套模拟题

高等数学第九套模拟题

时间:2023-07-19 理论教育 版权反馈
【摘要】:一、选择题1.选D [解析] ,因此选D.2.选C [解析] ,因此选C.3.选A [解析] y′=(5x3)′=5(x)′3′=5,因此选A.4.选A [解析] ,因此选A.5.选B [解析] 被积函数为奇函数,积分区间对称,由定积分性质知积分为0,因此选B.6.选C [解析] ,因此选C.7.选A [解析] z=x2+y,,,,因此选A.8.选D [解析] 因为积分区域为矩形,面积为2,被积函

高等数学第九套模拟题

一、选择题

1.选D [解析] 978-7-111-45311-6-Chapter14-315.jpg,因此选D.

2.选C [解析] 978-7-111-45311-6-Chapter14-316.jpg,因此选C.

3.选A [解析] y′=(5x−3)′=5(x)′−3′=5,因此选A.

4.选A [解析] 978-7-111-45311-6-Chapter14-317.jpg,因此选A.

5.选B [解析] 被积函数为奇函数,积分区间对称,由定积分性质知积分为0,因此选B.

6.选C [解析] 978-7-111-45311-6-Chapter14-318.jpg,因此选C.

7.选A [解析] z=x2+y978-7-111-45311-6-Chapter14-319.jpg978-7-111-45311-6-Chapter14-320.jpg978-7-111-45311-6-Chapter14-321.jpg,因此选A.

8.选D [解析] 因为积分区域为矩形,面积为2,被积函数为1,因此原式=2,所以选D.

9.选B [解析] 978-7-111-45311-6-Chapter14-322.jpg978-7-111-45311-6-Chapter14-323.jpg,因此978-7-111-45311-6-Chapter14-324.jpg,所以选B.

10.选B [解析] 由r2−4=0r1=2,r2=−2,知y′′−4y=0的特征根为2,-2,故选B.

二、填空题

11.1 [解析] 当x→1时,sin(x−1)→0,由重要极限公式978-7-111-45311-6-Chapter14-325.jpg,可知978-7-111-45311-6-Chapter14-326.jpg.

12.x=−3 [解析] 由于x=−3时,978-7-111-45311-6-Chapter14-327.jpg没有定义,因此x=−3为间断点.

13.1 [解析] fx)=xx-1)=x2xf′(x)=2x-1,f′(1)=1.

14.978-7-111-45311-6-Chapter14-328.jpg [解析] y=lnx,则978-7-111-45311-6-Chapter14-329.jpg978-7-111-45311-6-Chapter14-330.jpg

15.0 [解析] 设fx)=sinx3,则fx)为奇函数,积分区间为对称区间,故定积分为零.

16.(2xy)dx+(2yx)dy [解析] fxy)=x2+y2xy

从而 fx′(xy)=2xyfy′(xy)=2yx,于是

dz=(2xy)dx+(2yx)dy.

17.(−∞,2) [解析] f′(x)=4xx2f′′(x)=4−2x.

f′′(x)=0,由4−2x=0得x=2.当x<2时,f′′(x)>0;当x>2时,f′′(x)<0,故fx)的凹区间是(−∞,2).

18.978-7-111-45311-6-Chapter14-331.jpg [解析] 由于直线与平面x−2y+4z=0垂直,可取直线方向向量为(1,-2,4),因此所求直线方程为 978-7-111-45311-6-Chapter14-332.jpg.

19.0<k≤1 [解析] k>1时,级数各项取绝对值,得正项级数978-7-111-45311-6-Chapter14-333.jpg,是收敛的p级数,从而原级数绝对收敛.当0<k≤1时,由莱布尼茨交错级数收敛性条件可判明原级数收敛且条件收敛.因此应有0<k≤1.

20.y=C1+C2x. [解析] y"=0,特征方程为r2=0,特征根为r=0(二重根),于是二阶常系数齐次线性方程的通解为y=C1+C2x.

三、解答题(www.daowen.com)

21.解:978-7-111-45311-6-Chapter14-334.jpg

22.解:对y=x2+y2两边微分

dy=2xdx+2ydy

所以 978-7-111-45311-6-Chapter14-335.jpg.

23.解:记978-7-111-45311-6-Chapter14-336.jpg,则fx)=3x−2A,两边求积分,有

从而

978-7-111-45311-6-Chapter14-339.jpg.

24.解:z=x2xy+y2+x+y,则由

978-7-111-45311-6-Chapter14-340.jpg,解得978-7-111-45311-6-Chapter14-341.jpg

P(-1,-1)为唯一驻点.

B2-AC=-3<0,A>O.因此点(-1,-1)为z的极小值点,极小值为1.

25.解:方程978-7-111-45311-6-Chapter14-343.jpg为一阶线性微分方程

通解

26.解:由题设切点为978-7-111-45311-6-Chapter14-346.jpg.978-7-111-45311-6-Chapter14-347.jpg,从而切线方程为978-7-111-45311-6-Chapter14-348.jpg

978-7-111-45311-6-Chapter14-349.jpg.

(所围图形见右图阴影部分)

27.解:D的图形见右图阴影部分.

在极坐标系下D图形的范围可以表示为

因此978-7-111-45311-6-Chapter14-353.jpg

28.解:依题意,有 978-7-111-45311-6-Chapter14-355.jpg,其中y=fx).

两端对x求导,得 y=2y+2xy′,

从而 2xy′=−y,即 978-7-111-45311-6-Chapter14-356.jpg.

解此微分方程,得 2lny=−lnx+lnC978-7-111-45311-6-Chapter14-357.jpg

y(1)=2代入,得出C=4. 所求曲线方程为978-7-111-45311-6-Chapter14-358.jpg

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