一、选择题
1.选D [解析] ,因此选D.
2.选C [解析] ,因此选C.
3.选A [解析] y′=(5x−3)′=5(x)′−3′=5,因此选A.
4.选A [解析] ,因此选A.
5.选B [解析] 被积函数为奇函数,积分区间对称,由定积分性质知积分为0,因此选B.
6.选C [解析] ,因此选C.
7.选A [解析] z=x2+y,,,,因此选A.
8.选D [解析] 因为积分区域为矩形,面积为2,被积函数为1,因此原式=2,所以选D.
9.选B [解析] ,,因此,所以选B.
10.选B [解析] 由r2−4=0,r1=2,r2=−2,知y′′−4y=0的特征根为2,-2,故选B.
二、填空题
11.1 [解析] 当x→1时,sin(x−1)→0,由重要极限公式,可知.
12.x=−3 [解析] 由于x=−3时,没有定义,因此x=−3为间断点.
13.1 [解析] f(x)=x(x-1)=x2−x,f′(x)=2x-1,f′(1)=1.
14. [解析] y=lnx,则,
15.0 [解析] 设f(x)=sinx3,则f(x)为奇函数,积分区间为对称区间,故定积分为零.
16.(2x−y)dx+(2y−x)dy [解析] f(x,y)=x2+y2−xy,
从而 fx′(x,y)=2x−y;fy′(x,y)=2y−x,于是
dz=(2x−y)dx+(2y−x)dy.
17.(−∞,2) [解析] f′(x)=4x−x2,f′′(x)=4−2x.
令f′′(x)=0,由4−2x=0得x=2.当x<2时,f′′(x)>0;当x>2时,f′′(x)<0,故f(x)的凹区间是(−∞,2).
18. [解析] 由于直线与平面x−2y+4z=0垂直,可取直线方向向量为(1,-2,4),因此所求直线方程为 .
19.0<k≤1 [解析] k>1时,级数各项取绝对值,得正项级数,是收敛的p级数,从而原级数绝对收敛.当0<k≤1时,由莱布尼茨交错级数收敛性条件可判明原级数收敛且条件收敛.因此应有0<k≤1.
20.y=C1+C2x. [解析] y"=0,特征方程为r2=0,特征根为r=0(二重根),于是二阶常系数齐次线性方程的通解为y=C1+C2x.
三、解答题(www.daowen.com)
21.解:
22.解:对y=x2+y2两边微分
dy=2xdx+2ydy,
所以 .
23.解:记,则f(x)=3x−2A,两边求积分,有
从而
故 .
24.解:z=x2−xy+y2+x+y,则由
,解得
点P(-1,-1)为唯一驻点.
B2-AC=-3<0,A>O.因此点(-1,-1)为z的极小值点,极小值为1.
25.解:方程为一阶线性微分方程.
通解
26.解:由题设切点为.,从而切线方程为,
即 .
(所围图形见右图阴影部分)
27.解:D的图形见右图阴影部分.
在极坐标系下D图形的范围可以表示为
因此
28.解:依题意,有 ,其中y=f(x).
两端对x求导,得 y=2y+2xy′,
从而 2xy′=−y,即 .
解此微分方程,得 2lny=−lnx+lnC,
将y(1)=2代入,得出C=4. 所求曲线方程为
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