一、选择题

1.选C [解析] ，因此选C.

2.选C [解析] ，因此选C.

3.选D [解析] y′=[（x−1）⁵]′=5（x−1）⁴⋅（x−1）′=5（x−1），因此选D.

4.选D [解析] y′=（2−e^x+3）′=2′−（e^x+3）′=−e^x+3⋅（x+3）′=−e^x+3，dy=y′dx=−e^x+3dx，因此选D.

5.选C [解析] 点（-1，0）在曲线y=x²+5x+4上.y=x²+5x+4，y′=2x+5，y′|_x=−1=3.

由导数的几何意义可知，曲线y=x²+5x+4在点（-1，0）处切线的斜率为3，所以选C.

6.选D [解析] 由于∫f（x）dx=F（x）+C，可得知

∫e^−xf（e^−x）dx=−∫f（e^−x）de^-x−x=F（^−xx）C，因此选D.

7.选 A[解析 ]由不定积分基本公式可知，可知应选A.

8.选 D[解析 ]，因此选D.

9.选 B[解析 ]空间中曲线方程应为方程组，故A不正确；三元一次方程表示空间平面，故D不正确；空间中，缺少一维坐标的方程均表示柱面，可知应选B.

10.选 C[解析 ]y′′+y′=0，特征方程为r²+r=0，特征根为r₁=0，r₂=−1；方程的通解为y=C₁e^−x+C₂，可知选C.

二、填空题

11.3 [解析] .

12. [解析]

而

已知 f′（0）=2，所以.

13.x=2 [解析] 因为，所以铅直渐近线方程应为x=2.

14.dx [解析] y′=（e^x−3）′=e^x−3⋅（x−3）′=e^x−3，y′|_x=3=e³⁻³=1，dy|_x=3=y′|_x=3dx=dx.

15． [解析] 两边对x求导，有.

16. [解析]

17.yx^y−1 [解析] z=x^y，求时，将y认作常量，因此认定z为x的幂函数，.

18.1 [解析]

19.2 [解析] 是首项为、公比为的几何级数，其和为

20.y=−e^−x+C [解析] 方程可化为：dy=e^−xdx，这是变量可分离的方程，只需两边积分即可得通解.

∫dy=∫e^−xdx，y=−e^−x+C.

三、解答题

21.解：(www.daowen.com)

也可以利用当x→0时，，得

22.解：

23.解：令F（x，y，z）=z³y−xz−1=0，

F′_x=−z，F′_y=z³，F_z′=3z²y−x，

从而 .

所以 .

24.解：D的图形见右图中阴影部分.在极坐标系下D满足，0≤r≤1，且x²+y²=（rcosθ）²+（rsinθ）²=r²，故

25.解：.

由2|x²|<1可解得 ，

故所给级数收敛区间为 .

26.解：原方程对应的齐次方程为y′′−4y′+4y=0，

特征方程及特征根为 r²−4r+4=0，r_1，2=2，

齐次方程的通解为 Y=（C₁+C₂）e^2x.

在自由项f（x）=e^−2x中，α=-2不是特征根，所以设y^*=Ae^−2x，代入原方程，有

故原方程通解为.

27.解：设所求切线的切点为（a，b），见右图，则b=a².

y′|_x=a=2x|_x=a=2a，切线方程为

y−b=2a（x−a）

y=2ax−2a²+b

=2ax−a².

设对应图形面积为A，则

28.解：对两边求导 f′（x）=f（x）+2x，

即 y′−y=2x.

因为 ∫2x⋅e^∫−1dxdx=2∫xe^−xdx=2∫xd（−e^−x）

=−2xe^−x−2∫−e^−xdx=−2xe^−x−2e^−x

故有 y=e^x（−2xe^−x−2e^−x+C）=−2x−2+Ce^x.

将f（0）=0代入，有0=-2+C，C=2，故所求为f（x）=2e^x−2x−2.