一、选择题
1.选D [解析] 由极限的基本公式知,因此选D.
2.选B [解析] 利用公式,,可知,因此选B.
3.选D [解析] ,因此选D.
4.选C [解析] y′=[cos(x−3)]′=−sin(x−3)⋅(x−3)′=−sin(x−3),dy=y′dx=−3sin(x−3)dx,因此选C.
5.选C [解析] y=x−ex,y′=1−ex,由y′|x=0=0,可知应选C.
6.选C [解析] 被积函数sin5x为奇函数,积分区间[−1,1]为对称区间.由定积分的对称性质知选C.
7.选A [解析] ,因此,可知应选A.
8.选B [解析] 由于区域D的图形为由x2+y2=1围成的圆的上半部,所以,故应选B.
9.选A [解析] 级数
为的p级数,因此为收敛级数,由级数性质可知收敛,故绝对收敛,应选A.
10.选C [解析] 由线性方程解的结构定理知应选C.仅当y1、y2为线性无关特解时,A才正确.
二、填空题
11. [解析] ,
12.−sinxdx [解析] y=cosx,则y′=−sinx,dy=y′dx=−sinxdx.
13.y=1 [解析] ,
故水平渐近线方程是y=1.
14.-2 [解析] ,由已知,k=-2.
15. [解析]
16.-2y [解析] 求时,将x认定为常量,则
17.(0,2) [解析]y′=3(x2−1),y′′=6x.由y′′=0,有x=0.
当x>0时,y″>0;当x<0时,y′′<0;而x=0时,y=2.故拐点为(0,2).
18.2 [解析] .
19.0 [解析] ,所以R=0.
20.x2+y2=C [解析] 分离变量,得ydy=xdx.(www.daowen.com)
两边积分,有 y2=x2+C.
三、解答题
21.解:
或自(*)处利用洛必达法则.
22.解: y=x2+2x,
y′=(x2)′+(2x)′=2x+2xln2.
23.解:设F(x,y,z)=ez-z+xy-3=0,
Fx′=y,Fy′=x,Fz′=ez−1,
从而 ,,
故 .
24.解:.
25.解:y″+4y=0的特征方程为r2+4=0,从而特征根为r1,2=±2i,故其通解为
y1=C1cos2x+C2sin2x.
因为自由项f(x)=e2x,α=2不是特征根.故设y*=Ae2x.
代入原方程,有,,
故y″+4y=e2x的通解为
26.解:所围图形见右图中阴影部分.
27.解:依题意,面密度函数为,
所以
28.解:(1)依题设:,即
因为,q(x)=x2,
通解为
将 代入通解,得C=0,故所求为
(2)记所求面积为A,则A
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