一、选择题

1.选C [解析] ，所以选C.

2.选A [解析] y′=（3sinx）′=3（sinx）′=3cosx，所以选A.

3.选D [解析] f′（x）=（e^x−1）′=e^x−1⋅（x−1）′=e^x−1，所以选D.

4.选A [解析] ，所以选A.

5.选B [解析] 由定积分的几何意义知应选B.

6.选D [解析] 将y看做常量，则，所以选D.

7.选A [解析] 由二重积分的性质可知

A为区域D的面积.由于D为x²+y²≤4表示圆域，半径为2，因此A=π×2²=4π，所以选A.

8.选C [解析] 方程x=z²中缺少坐标y，是以xOy坐标面上的抛物线x=z²为准线，平行于y轴的直线为母线的抛物柱面.所以选C.

9.选C [解析] 因为收敛，由级数绝对收敛的性质可知收敛，且为绝对收敛，所以选C.

10.选A [解析] y′′-y=0的特征方程是r²−1=0，特征根为r₁=1，r₂=-1y′′−y=xe^x中自由项f（x）=xe^x，a=1是特征单根，应设y^*=x（ax+b）e^x=（ax²+bx）e^x.所以选A.

二、填空题

11.1 [解析] 由极限运算公式知

12.−sin（x−2） [解析] y′=[cos（x−2）]′=−sin（x−2）⋅（x−2）′=−sin（x−2）.

13.2xdx [解析] y′=（x²−3）′=2x，dy=y′dx=2xdx.

14.（0，3） [解析] y=x³+2x+3，y′=3x²+2，y′′=6x.

令y′′=0，得x=0.当x=0时，y=3.

当x<0时，y′′<0；当x>0时，y′′>0.

因此（0，3）为曲线的拐点.

15. [解析] .

16.2ln2 [解析]

17.−ln|x−1|+C [解析]

18.3x²siny [解析] 将y看做常量，则

19.1 [解析] ，(www.daowen.com)

所以

20.y=e^x+C [解析] y′=e^x，分离变量，得dy=e^xdx.

两边积分得y=e^x+C，此即为通解.

三、解答题

21.解：对e^x−e^y=siny两边求导，得

e^x−e^yy′=（cosy）y′，

（e^y+cosy）y′=e^x，

22.解：

23.解：因为y=xsinx，

则 y′=x′sinx+x（sinx）′=sinx+xcosx.

24.解：由题设知中积分区域的图形应满足1≤x≤e，0≤y≤lnx，因此积分区域的图形见右图中阴影部分.

由y=lnx，有x=e^y.

所以

25. 解：f（x）=lnx=ln[1+（x−1）].

因为 ，

从而

即

由|x−1|<1知0<x<2，即收敛区间为（0，2）.26.解：所围图形见右图中阴影部分.

由

解得两曲线交点的x坐标为

27.解：y′′+9y=0的特征方程为r²+9=0，特征值为r_1，2=±3i，故通解为

y=C₁cos3x+C₂sin3x.

28.解：因为在[0，2π]内，y′=1−cosx≥0，可知在[0，2π]上y=x−sinx单调增加.