（一）CVaR的定义

CVaR是Conditional Value at Risk的简写，译为条件风险价值。它作为一种金融风险度量工具，由Tyrrell Rockafellar和Stanislav Uryasev于1999年首次提出。

设L（x，y）是损失函数，其中x∈Rm为决策向量，X为可行集，y∈Rm为一随机向量。例如x可理解为风险资产的组合系数，x为所有可能组受各种约束的集合，当然也可根据具体情况作其他解释。y代表能影响损失的市场不确定性。当损失为负时，意味着有正的收益。若y的概率密度为p（y），则对任给x，损失L（x，y）的分布也随之确定，其分布函数为：

而相应的，在概率置信水平β（0＜β＜1）情况下，损失β-VaR和β-CVaR分别定义为：

CVaRβ（x）＝E［L（x，y）｜L（x，y）≥VaR（x）］

并记：

对资产组合而言，收益R（x，y）和损失L（x，y）分别为：

rx＝R（x，y）＝xTy，L（x，y）＝-xTy

其中，x＝（x1，x2，…，xn）T，且＝xTI，I＝（1，1，…，1）T；y＝（y1，y2，…，yn）T，yj代表第j种金融工具的回报率，j＝1，2，…，n。这时可行集为X＝｛x∈Rn：xTI＝1｝。

因为损失、收益的货币单位与百分比之间存在一一对应的线性关系，所以把VaR、CVaR的度量单位折算为初始价值的百分比。

若设E（y）＝μ，Cov（y）＝V，则收益、损失的均值和方差分别为：

因此得到基于CVaR的证券组合优化：

或者：

其中，Rp＝xTR为投资组合的期望收益率；R＝（R1，R2，…，Rn）为投资组合中资产的收益均值；x＝（x1，x2，…，xn）T为投资组合中各资产所占的比例；R0为投资者期望收益率。

（二）CVaR的性质

（1）传递不变性，对于任意一个固定的常数c，有Cβ（Y+c）＝Cβ（Y）+c。(www.daowen.com)

（2）正齐次性，对于任意正数c，有Cβ（Y+c）＝Cβ（Y）+c。

（3）单调可加性，对于任意非递增函数f和g，若两复合函数f·Y和g·Y有意义，则Cβ（f·Y+g·Y）＝Cβ（f·Y）+Cβ（g·Y）。

（4）某种程度上具有关于零的对称性，E（Y）＝（1-β）Cβ（Y）-βC1-β（-Y）。

（5）具有次可加性。

若0＜λ＜1，对任意两个损失变量Y1和Y2有：

Cβ［λY1+（1-λ）Y2］≤λCβ（Y1）+（1-λ）Cβ（Y2）

（6）Cβ（Y）≥Vβ（Y），且Y非负，有：

（三）CVaR的计算方法

在满足正态情形下风险资产组合的均值—CVaR边界的模型的基本假设前提下，增设：

y～N（μ，V）

则损失：

-xTy～N（-xTμ，xTVx）

由VaR和CVaR的定义，可得损失L（x，y）的β（0＜β＜1）置信水平下的VaR和CVaR分别为：

其中，c1（β）＝Φ-1（β）为标准正态分布β的下侧分位数；Φ为标准正态N（0，1）的分布函数；c2（β）＝φ［c1（β）］／（1-β）；φ为标准正态N（0，1）的概率密度函数。

为了方便起见，本书将CVaR（x）改记为CVaR（rx）或CVaR，rx简记为r。