分形分布在经济学中也经常被称作“帕累托”、“帕累托-莱维（Pareto-Levy）”或“稳定帕累托分布”。19世纪末Pareto在对收入分布的研究中发现，除了将近3%的富人的收入分布服从对数正态分布外，大多人的收入分布会服从逆幂律，从图形上看来表现为一个很厚的尾部。厚尾现象在生活中也经常出现。比如要找到一个身高比另一个人高10倍的人的概率很有限，但是要找到一个比另一个人富10倍的人的概率比正态概率预测要高得多。比如在单词的使用频率上，长单词比短单词用得少；在学术界，一个学者过去写的论文越多，他以后的名气就会越大。1964年，Mandelbrot指出，金融市场收益率服从分形分布，分形分布在均值处有高峰，也有厚尾，非常像观察到的金融市场收益率的频数分布。我们知道，正态分布特征函数的对数是：

lgf（t）＝iμt-（σ2 ／2 ）t2

式中，μ为均值；σ2为方差。

要表达“尖峰”和厚尾这种分形分布的特征，Levy推广了概率分布的特征函数，分形分布的特征函数表达式如下：

lg［f（t）］＝iδt-γ｜t｜α（1+iβ（ν+｜t｜）tan（απ／2））

这个公式有4个特征参数：α、β、δ和γ。δ是均值的位置参数；γ是可调整的标度参数；β是偏斜度的度量，其取值范围为［-1，1］，当β＝0时，分布是对称的，当β＞0时分布是右厚尾的或向右偏斜的，右斜程度随β趋向于+1而增加，当β＝1时达到最大；α既度量分布的“尖峰”程度又度量分布的厚尾程度，α的取值在0～2之间。只有当α＝2时，分布等价于正态分布。若α＝2、β＝0时，就得到正态分布的特征函数。(www.daowen.com)

有效市场假说实际上认为α必须等于2，而在分形市场假说中，α可以在1～2之间取值，α值的不同会剧烈地改变时间序列的性质。

α＝2时，分布为正态分布，方差是有限的、稳定的。当1≤α＜2时，方差变成无定义或无极限的，在这种情况下，样本方差作为风险度量指标几乎没有什么意义了。

如果0≤α≤1时，稳定的均值就不存在了，α落在这个范围是很少见的。α在1和2之间取值时，对应于分数布朗运动，其特点是长期相关性的统计自相似性，称之为分形时间序列。α是时间序列在概率空间的分形维数，并且α＝1／H时，两者为倒数关系。

分形分布有两个重要的特性：第一个性质被称为“约瑟”效应，它表现为分形分布倾向于有趋势和非周期循环；第二个性质被Mandelbort命名为“诺亚”效应，它意味着系统容易有突然和激烈的逆转。

此外，分形分布在时间方面有足够的自相似性（self similar）。如果每日价格的分布有均值（m）以及α＝a，那么，5天收益率的分布就有均值5m且仍然有α＝a，即作了时间标度的调整，序列的概率分布仍然保持同样的形状，这就是分形时间序列的标度不变性。