R／S分析法是分形研究中的一种重要方法。R／S分析法最初是由英国水文学家Hurst（1951）提出来的。后来Mandelbrot（1971）对该方法作了进一步研究，并用该方法对美国金融市场进行了长期相关性检验。Peters将R／S分析法作为其分形市场理论最重要的研究工具进行了深入研究和发展，并作了大量的实证研究。

R／S分析法即重标极差分析法（Rescaled Range Analysis）是Hurst（1965）提出的一种时间序列统计方法。Greeene和Fielit在研究美国普通股票收益率的行为特征时，首先将R／S分析方法运用到数理金融领域进行分析，随后R／S分析法被广泛应用于研究金融产品的时间序列分形结构。

R／S分析法主要是基于方差的估计方法，其主要步骤如下。

将时间序列｛Xi，i＝1，2，…，N｝划分为int［N／n］个，时间长度为n的独立时间序列。定义第m个期间的样本均值为：

累积离差为：

极差为：

方差为：

对于｛X｛ti｝｝是相对独立的、方差有限的随机序列，则可得到R／S的统计值为：

式中，H为Hurst指数。

对式（2-2）两端取对数得：

式中，Rm为重新标度的极差；Sm为标准差；H为Hurst指数；C为常数；n为样本的观察数。对于（2-2）的方程，运用最小二乘法求其斜率，即斜率就是Hurst指数H，进而可以求得时间序列的分形维D0＝2-H。

在通常情况下，R／S分析法也可以表述为：

式中，R为重新标度的极差；S为标准差；H为Hurst指数；C为常数；n为样本的观察数。

对式（2-4）两边同时取对数，可以得到：

做出ln（R／S）关于ln（n）的图，可求出斜率，即为Hurst指数。将ln（R／S）和ln（n）最小二乘估计，即可得到Hurst指数的估计值。

Mandelbrot（1972）指出H的倒数就是分形维数，所以H越小意味着系统越复杂。分形时间序列虽然有着长期的记忆性，却是有限的。从R／S分析法中，可以得到Hurst指数和平均循环长度这两个重要的参数指标。(www.daowen.com)

R／S分析能够探索到非周期循环，可以通过两种方法来估计平均循环长度。一种是通过绘制lg（R／S）关于lgn的图来估计。对于R／S分析的lg（R／S）／lgn图中，每一个循环的结束，同时也是下一个循环的开始，通过观测图中的转折点，可以估计平均循环长度。

另一种方法是V统计法。V统计方法可以更精确地度量循环长度，用公式表示为：

很显然，若，则R／S统计是以时间的平方根标度的，该过程是一个独立的随机游走，相对于lgn绘制的V统计量的图形应该是相对平坦的。若时间序列是反持久性的（），R／S的比率规模变化慢于时间方根，则图形应该是向下倾斜的。若时间序列是持久性的（），R／S的比率规模变化则快于时间方根，图形应该是向上倾斜的。当V图形形状发生突变时，长期记忆过程就消失了。根据V统计图可以发现断点，检查在每一区间的V的最大值，从而估计每一频率的循环长度。

在R／S的检验过程中，由于有效市场假说是以高斯分布为条件，因此，检验一个过程是否是随机游走，并证明分形布朗运动的存在，取高斯分布作为零假设的条件。

基于二项分布的原假设，Hurst（1951）得到随机游走的一种特殊情形：

式中，n为观察值的个数。

Feller（1951）计算调整过的极差的期望值也得出了相似的结果：

式中，R′为调整过的极差，即去掉样本均值后的累积偏差。

式（2-8）、式（2-9）是在布朗运动的零假设条件下的标准假定，极差随时间的平方根增长。当n较小时，对于R／S统计的系统偏差的估计，Lloyd和Anis（1996）提出了如下方程：

当n较大时，式（2-10）便失去了意义。然而用Sterling函数，式（2-10）可以简化为：

当n＞300时，可以用式（2-11）进行估计，但当n逐渐增大时，式（2-11）接近于式（2-8）。从实际结果来看，当n＜20时，Anis等（1996）提出的式（2-10）与Monte Carlo模拟得到的结果有一定的偏差。为此，Peters（1999）对方程（2-11）进行了修正，得到方程（2-12），这一结果与Monte Carlo模拟得到的结果几乎是一样的。

对于E［（R／S）n］的估计，一般采用方程（2-12）在E［（R／S）n］的基础上就可以估计出Hurst指数的期望值E（H）n。由于R／S的取值是一个随机变量，服从正态分布，因此也希望Hurst指数的取值服从正态分布，这样Hurst指数的方差为：

式中，T为样本观察数。

由此可见，VaR（H）n并不依赖n、H，仅仅依赖样本观察总数T。