周末，美美请了几个同学来家里做客，同学们来了之后，爸爸妈妈热情地招待，几位同学也很礼貌，一进门之后，就做自我介绍，其中有个同学说：“叔叔阿姨，我叫杨辉，坐在周美美后面，是数学课代表。”

“是吗？你叫杨辉？还是数学课代表？”

“是啊，叔叔。”

“古代，有个数学家也叫杨辉呢，著名的杨辉三角，你们知道吗？”

“不知道，什么是杨辉三角呢？”

杨辉三角形，又称贾宪三角形、帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。

北宋人贾宪约公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算。

杨辉，字谦光，南宋时期杭州人。在他公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪中叶贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”。故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。

杨辉三角形同时对应于二项式定理的系数。n次的二项式系数对应杨辉三角形的n+1行。

例如，2次的二项式正好对应杨辉三角形第3行系数121。

杨辉三角以正整数构成，数字左右对称，每行由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。

第n行的数字个数为n个。

第n行的第k个数字为组合数。

第n行数字和为2n-1。

除每行最左侧与最右侧的数字以外，每个数字等于它的左上方与右上方两个数字之和（也就是说，第n行第k个数字等于第n-1行的第k-1个数字与第k个数字的和）。这是因为有组合恒等式。可用此性质写出整个杨辉三角形。

杨辉三角的研究来源于一个小故事。

当时杨辉是台州的地方官，一次外出巡游，碰到一孩童挡道，杨辉问明原因方知是一孩童在做一道数学算题，杨辉一听来了兴趣，下轿来到孩童旁问是什么算题。原来，这个孩童在算一位老先生出的一道趣题：把1到9的数字分行排列，不论竖着加、横着加，还是斜着加，结果都要等于15。(www.daowen.com)

杨辉看到这个算题时想起来他在西汉学者戴德编纂的《大戴礼》一书中也见过。杨辉想到这儿，和孩童一起算了起来，直到午后，两人终于将算式摆出来了。

后来，杨辉随孩童来到老先生家里，与老先生谈论起数学问题来。老先生说：“北周的甄弯注《数术记遗》一书中写过‘九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。’”杨辉听了，这与自己与孩童摆出来的完全一样。便问老先生：“你可知这个九宫图是如何造出来的？”老先生说不知道。

杨辉回到家中，反复琢磨。一天，他终于发现一条规律，并总结成四句话：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。”就是说：先把1～9九个数依次斜排，再把上1下9两数对调，左7右3两数对调，最后把四面的2、4、6、8向外面挺出，这样三阶幻方就填好了。

杨辉研究出三阶幻方（也叫络书或九宫图）的构造方法后，又系统地研究了四阶幻方至十阶幻方。在这几种幻方中，杨辉只给出了三阶、四阶幻方构造方法的说明，四阶以上幻方，杨辉只画出图形而未留下作法。但他所画的五阶、六阶乃至十阶幻方全都准确无误，可见他已经掌握了高阶幻方的构成规律。

与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。

例如，在杨辉三角中，第3行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的每一项的系数

即（a+b）2=a2+2ab+b2

第4行的四个数恰好依次对应两数和的立方的展开式的每一项的系数

即（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

以此类推。

又因为性质6：第n行的m个数可表示为C（n-1，m-1），即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。因此可得出二项式定理的公式为：（a+b）n=C（n，0）an×bo+C（n，1）a^（n-1）×b1+...+C（n，r）a^（n-r）×b^r...+C（n，n）ao×bn

因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。

简单说就是两个未知数和的幂次方运算后的系数问题，比如（x+y）2=x2+2xy+y2，这样系数就是1，2，1这就是杨辉三角的其中一行，立方，四次方，运算的结果看看各项的系数。

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杨辉三角形，又称贾宪三角形、帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》（1261年）一书中用如图的三角形解释二项和的乘方规律。