在遇到一些情况复杂的数学问题时，我们要学会化繁为简，从最简单的情况出发，观察并寻找题目所包含的规律，通过枚举和推理的方法找出问题的答案来。

例题 1

小明有很多1 元、2 元和5 元的纸币，那么他买一个10元的杯子有多少种不同的付款方式？

方法点拨

共有 10 种。

举一反三

❶小华用若干张1 元、2 元、5 元的纸币去买一个12 元的水杯，共有多少种不同的付款方法？

❷大毛点了一份肯德基的20 元儿童套餐，他有很多1 元、2 元和5 元的纸币，那么他有多少种不同的付款方式？（要求每种纸币都有）

例题 2

下面图形含有多少个正方形？

方法点拨

枚举法：边长为 1 的正方形有 4×4 个，边长为 2 的正方形 3×3 个，边长为 3 的正方形有 2×2 个，边长为 4 的正方形有 1×1 个，那么一共有正方形 4×4+3×3+2×2+1×1=30（个）。

举一反三

❶下面图形含有多少个正方形？

❷下面图形含有多少个正方形？

例题 3

观察下列数列并回答问题：

1，1，2，3，5，8，13……叫作斐波那契数列，又叫作兔子数列，问：

（1）这个数列的第100 项是奇数还是偶数？

（2）这个数列的第100 项除以5 余数是多少？

方法点拨

寻找数列的奇偶性规律和除以 5 的余数规律，如下表：(www.daowen.com)

（1）可以看出奇偶性的规律为 3 个数一个周期，100÷3=33……1，第 100 项为奇数。

（2）除以 5 的余数每 5 个数会出现一次 5 的倍数， 100÷5=20（组），所以第 100 项除以 5 余数是 0。

举一反三

❶观察数列1，1，2，3，5，8，13…，请问这个数列的第200 项是奇数还是偶数，这个数除以3 的余数是多少？

❷观察数列1，1，2，3，5，8，13…，请问这个数列的第500 项是奇数还是偶数，这个数除以3 的余数是多少？

例题 4

一楼梯共10 级，规定每步只能跨上1 级或2 级，从第1级登上第10 级共有多少种不同的走法？

方法点拨

我们从第 1 级开始推理每一级的方法数，从第 3 级开始，每 1 级的方法数都是前 2 级方法数之和，可得下表：

所以走到第 10 级台阶有 89 种走法。

举一反三

❶一楼梯共10 级，规定每步只能跨上1 级或2 级，从第1 级登上第12 级共有多少种不同的走法？

❷有一堆火柴棒共10 根，规定每次只能取1 到3 根，那么取完这堆火柴一共有多少种方法？

例题 5

一条直线划分一个平面为两部分。两条直线最多分这个平面为四部分。问：5 条直线最多分这个平面为多少部分？

方法点拨

我们可以从 1 条直线开始推理分成了几个部分，可以得到下表的规律：

由上表可知 5 条直线最多可将这个平面分成 16 个部分。那么当有 n 条直线时，最多可将平面分成 2+2+3+4+…+n=n（n+1）÷2+1 个部分。

举一反三

❶一条直线划分一个平面为两部分。两条直线最多分这个平面为四部分。问：8 条直线最多分这个平面为多少部分？

❷已知两条直线最多有1 个交点，三条直线最多有3 个交点，那么10条直线最多有几个交点，最少有几个交点？