估算是计算过程中经常采用的计算方法，主要方法为放缩法。最大值与最小值在很多应用题型和数论题目中都有出现，要学会极限思考和灵活应用枚举找规律的方法求出最大值和最小值。

例题 1

已知X=0.9+0.99+0.999+…+0.9999999999求X 的整数部分。

方法点拨

要求 X 的整数部分，必须找到 X 介于哪两个连续整数之间。可以先将原算式放大，把每个加数都看成 1，这样结果是 1×10=10；然后将原算式缩小，把每个加数都看成 0.9，结果是 0.9×10=9。可见原算式的结果介于 10 和 9 之间即 9＜ X＜10，，所以 X 的整数部分是 9。

举一反三

❶ A=9.9+9.99+9.999+9.9999+…+9.9999999999，求A 的整数部分。

❷ B=8.8+8.98+8.998+8.9998+8.99998，求B 的整数部分。

例题 2

3 个不同自然数的和为24，那么最大的自然数的最大值是__________，最小值是__________。

方法点拨

当最大的自然数最大时，其他两个自然数最小为 0 和 1，则最大值为 24-0-1=23；当最大的自然数最小时，其他两个自然数尽可能大，则三个数很接近，24÷3=8，则三个数分别为7，8，9，则最小值为9。

举一反三

❶ 5 个不同自然数的和为50，那么其中最大一个自然数的最大值是__________，最小值是__________。

❷ 4 个不同的自然数的和为30，那么其中最大一个自然数的最大值是__________，最小值是__________。

例题 3

一个长方形的边长是整厘米数，如果它的周长是18 厘米，那么它的面积最大是__________，最小是__________。

方法点拨

周长相同的长方形，长和宽越接近，则面积越大。周长为 18 厘米，长与宽的和为 9 厘米，面积有 8×1=8（平方厘米），7×2=14（平方厘米），6×3=18（平方厘米），5×4=20（平方厘米），则面积最大为 20 平方厘米，最小为 8 平方厘米。所以我们得到结论是：两个数的和一定，则差越小，积越大；反之，差越大，则积越小。(www.daowen.com)

举一反三

❶一个长方形的长和宽都是整厘米数，如果它的周长是30 厘米，那么它的面积最大是__________，最小是__________。

❷一个长方形的长和宽都是整厘米数，如果它的周长是48 厘米，那么它的面积最大是__________，最小是__________。

例题 4

用1，2，3，4 这四个数字组成两个两位数，则这两个数的乘积最大是__________，最小是__________。

方法点拨

首先考虑数位，当乘积最大时，十位数字选择 4 和 3，个位数字选择 1 和 2，那么有两种情况： 41×32 或 42×31，两数之和均为 73，则差越小积越大，积最大为 41×32=1312。当乘积最小时，十位数字选择 1 和 2，个位数字选择 3 和 4，两种情况： 13×24 或者 14×23，两数之和均为 37，差越大积越小，则积最小为 13×24=312。

举一反三

❶用1，3，5，7 这四个数字组成两个两位数，则这两个两位数的乘积最大是__________，最小是__________。

❷用0，2，4，6 这四个数字组成两个两位数，则这两个两位数的乘积最大是__________，最小是__________。

例题 5

用1，2，3，4，5，6 组成两个三位数，则这两个三位数的乘积最大时的算式是__________，最小时的算式是__________。

方法点拨

首先考虑数位，当乘积最大时，百位选择 5 和 6，十位选择 4 和 3，个位选择 1 和 2，因为两数和一定，差越小积越大，所以积最大为 631×542。当乘积最小时，百位选择 1 和 2，十位选择 3 和 4，个位选择 5 和 6，两数和一定，差越大积越小，则积最小为 135×246。

举一反三

❶用1，2，4，5，8，9 组成两个三位数。则这两个三位数的乘积最大时的算式是__________，最小时的算式是__________。

❷用1，2，3，4，5，0 组成两个三位数，则这两个三位数的乘积最大时的算式是__________，最小时的算式是__________。