本章帮助你：

1.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；

2.掌握容斥原理在组合计数等各个方面的应用。

例题 1

把长38 厘米和53 厘米的两根铁条焊接成一根铁条。已知焊接部分长4 厘米，焊接后这根铁条有多长？

方法点拨

因为焊接部分为两根铁条的重合部分，所以，由包含排除法可知，焊接后这根铁条长 38+53-4=87（厘米）。

举一反三

❶把长23 厘米和37 厘米的两根铁条焊接成一根铁条。已知焊接部分长3 厘米，焊接后这根铁条有多长？

❷把长35 厘米和55 厘米的两根铁条焊接成一根铁条。已知焊接部分长5 厘米，焊接后这根铁条有多长？

例题 2

两张长4 厘米，宽2 厘米的长方形纸摆放成如图所示的形状。把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？

方法点拨

两个长方形如图摆放时出现了重叠（见图中的阴影部分），重叠部分恰好是边长为 2 厘米的正方形，如果利用两个 4×2 的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形的面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了。所以，被覆盖面积 =长方形面积之和 -重叠部分。于是，被覆盖面积为 4×2×2-2×2=12（平方厘米）。

举一反三

❶一个长方形的长为8 厘米，宽为6 厘米，另一个正方形的边长为6 厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为4 厘米的正方形，求这个组合图形的面积。

❷一个长方形长12 厘米，宽8 厘米，另一个长方形长10 厘米，宽6 厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为4 厘米的正方形，求这个组合图形的面积。

例题 3

一个班级参加语文兴趣小组的有28 人，参加数学兴趣小组的有29 人，有12 人两个小组都参加。这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？

方法点拨

参加语文或数学兴趣小组的人 =参加语文兴趣小组的人 +参加数学兴趣小组的人 -两个小组都参加的人，即 28+29-12=45（人）。(www.daowen.com)

举一反三

❶小学四年级有58 人学钢琴，43 人学画画，37 人既学钢琴又学画画。问：只学钢琴和只学画画的分别有多少人？

❷有48 名学生，在一节自习课上，完成语文作业的有30 人，完成数学作业的有20 人，语文和数学作业都没完成的有6 人。问：语文和数学作业都完成的有多少人？

例题 4

某班共有46 人，参加美术小组的有12 人，参加音乐小组的有23 人，有5 人两个小组都参加了。这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？

方法点拨

已知全班总人数，从反面思考，找出参加美术或音乐小组的人数，只需用全班总人数减去这个人数，就得到既没参加美术小组也没参加音乐小组的人数。根据包含排除法可知，该班至少参加了一个小组的总人数为 12+23-5=30（人）。所以该班未参加美术和音乐小组的人数是 46-30=16（人）。

举一反三

❶五年级一班有45 人，其中26 人参加了数学竞赛，22 人参加了作文比赛，每人至少参加一项比赛，12 人两项比赛都参加了。一班有多少人两项比赛都没有参加？

❷一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10 人，能表演跳舞的有18 人，两种都能表演的有7 人。这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？

例题 5

求在1 至100 的自然数中能被3 或7 整除的数的个数。

方法点拨

A：1 ～ 100 中 3 的倍数，100÷3=33……1，有 33 个；

B：1 ～ 100 中 7 的倍数，100÷7=14……2，有 14 个；

AB：1 ～ 100 中 3 和 7 的公倍数，即 21 的倍数，100÷21=4……16，有 4 个。

1 ～ 100 中 3 的倍数或 7 的倍数共有 33+14-4=43（个），则能被 3 或 7 整除的数的个数为 43 个。

举一反三

❶在前100 个自然数中，能被2 或3 整除的数有多少个？

❷在自然数1 ～100 中，能被3 或5 中任一个整除的数有多少个？