周期性问题的基本解题思路是：首先要正确理解题意，从中找准变化的规律，利用这些规律作为解题的依据；其次要确定解题的突破口。主要方法有观察法、逆推法、经验法等。主要问题有年月日、星期几问题等。

例题 1

小兔和小松鼠做游戏，它们把黑、白两种颜色的小球按下面的规律排列：

●●○●●○●●○…

你知道它们所排列的这些小球中，第90 个小球是什么颜色的呢？第100 个又是什么颜色的小球呢？

方法点拨

球的排列规律是： 2 个黑球， 1 个白球； 2 个黑球， 1 个白球；……也就是按 “2 个黑球， 1 个白球”的顺序循环出现，因此，这道题的周期为 3（2 个黑球，1 个白球）。再看看 90、100 里包含有几个这样的周期，若正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个；若是有整数个周期多几个，结果就为下一个周期里的第几个。因为 90÷3=30，正好有 30 个周期，第 90 个是白球。 100÷3=33……1，有 33 个周期还多 1 个，所以，第 100 个是黑球。

举一反三

❶美美有黑珠、白珠共102 个，她想把它们做成一串串珠挂在自己的床头上，她是按下面的顺序排列的：

○●○○○○●○○○○●○○○……

那么你知道这串珠子中，最后一个珠子应是什么颜色吗？美美怕这种黑颜色的珠子数量不够，你能帮她算出在这串珠子里，这种颜色的珠子共有多少个吗？

❷在★★○○○★★○○○★★○○○……这样的一排图形中，第87 个图形是什么？在这87 个图形中一共有多少个五角星？

例题 2

有一串彩色珠子，按红、黄、蓝、绿、白这五种颜色排列。

（1）第73 颗是什么颜色的？

（2）第10 颗黄珠子是从头数起第几颗？

方法点拨

（1）这些珠子是按红、黄、蓝、绿、白的顺序排列，每一组有 5 颗。73÷5= 14（组）……3（颗），第 73 颗是第 15 组的第 3 颗，所以是蓝色的。

（2）第 10 颗黄珠子前面有完整的 9 组，一共有 5×9=45（颗）珠子。第 10 颗黄珠子是第 10 组的第 2 颗，所以它是第 47 颗。列式：5×9+2=47（颗）。

举一反三

❶在一根绳子上依次穿2 颗红珠、2 颗白珠、5 颗黑珠，并按此方式反复作业，如果从头开始数，直到第50 颗，那么其中白珠有多少颗？

❷街上的彩灯按照5 盏红灯、4 盏蓝灯、1 盏黄灯，然后又是5 盏红灯、4 盏蓝灯、1 盏黄灯……这样排下去。问：

（1）第150 盏灯是什么颜色？

（2）前200 盏彩灯中有多少盏蓝灯？

例题 3

给小木球涂色的次序是：先5 个红、再4 个黄、再3 个绿、再2 个黑、再1 个白，然后又依次是5 红、4 黄、3 绿、2 黑、1 白……如此继续涂下去，到第2003 个小木球该涂什么颜色？

方法点拨(www.daowen.com)

小木球的涂色顺序是“5 红、4 黄、3 绿、2 黑、1 白”，也就是每涂过 “5 红、4 黄、3 绿、2 黑、1 白”循环一次，给小木球涂色的一个周期是 5+4+3+2+1=15，因此只要用 2003 除以 15，2003÷15=133……8，根据余数是 8 就可以判断：第 2003 个小木球出现在上面所列一个周期中的第 8 个，所以第 2003 个小球是涂黄色。

举一反三

❶小明做了一些内容是“北京欢迎你”的条幅，这些条幅依次排列，连起来就成了：“北京欢迎你北京欢迎你北京欢迎你……”，第28 个字是什么字？

❷银行里的李阿姨把一些硬币按3 个1 分，2 个2 分，1 个5 分的顺序依次排列起来，一共排列了200 枚硬币。

（1）最后1 枚是几分硬币？

（2）这200 枚硬币一共价值多少钱？

例题 4

小和尚在地上写了一列数：

7，0，2，5，3，7，0，2，5，3…

（1）你知道他写的第81 个数是多少吗？

（2）你能求出这81 个数相加的和是多少吗？

方法点拨

（1）那么每个周期就有 5 个数。81÷5=16……1，所以第 81 个数是 7。

（2）每个周期各个数之和是 7+0+2+5+3=17。再用每个周期中各数之和乘以周期个数再加上余下的各数，即可得到答案。 17×16+7=279，所以，这 81 个数相加的和是 279。

举一反三

❶根据下面一组数列的排列规律求出51 是第几个数？

1，2，3，4，6，7，8，9，11，12，13，14，16，17…

❷如右图所示的数表中，从左往右依次看作五列，第99 行右边第一个数是几？

例题 5

4×4×4×…×4（25 个4），积的个位数是几？

方法点拨

按照乘数的个数，积的末位数字的规律是： 4，6，4，6，4，6，…，奇数个 4相乘得数的末位数字是 4，偶数个 4 相乘得数的末位数是 6，所以 25 个 4 相乘，积的末位数字是 4。

举一反三

❶ 24 个2 相乘，积的末位数字是几？

❷紧接着1989 后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数。例如，8×9=72，在9 后面写2，9×2=18，在2后面写8……得到一串数字：19892868…。问：这串数字从1 开始，往右数，第1999 个数字是几？