8.4.3.1　对的最小化

通过最小化性能指标构造机动的局部估计，可以将其看作一个有约束的极值问题。考虑协方差矩阵：

考虑到

对迹的最小化等于对协方差的最小化，然后将式（8-55）代入式（8-44）中，对式（8-44）求和λk＋1的偏导数，然后将其等于0。于是，最小化的一阶条件可以表示为

展开式（8-56）和式（8-57），可得

根据式（8-58），由于det（Θ＋λk＋1 ηk＋1 ηk＋1T）≠0［在式（8-75）中证明］，其符合

而对于式（8-60）的后半部分，有

将式（8-61）代入式（8-60）中，可得

此外，将式（8-62）代入式（8-59）中，得到关于λk＋1的二阶方程：

式中：b和c的值可以分别表示为

对式（8-63）使用韦达定理，有

式（8-66）表明对于最优拉格朗日乘数有两种可能的解，为了确定最小化的符号，应该检查二阶条件。通常，二阶条件可以通过对性能指数求二阶导数获得。但是，这样会出现m×n维度的矩阵方程，会显著增加计算的复杂度。将增益定义为列向量，测量量会变成标量，但其所得的结果仍适用于向量测量。

极值问题的二阶条件可以通过计算其海森矩阵获得。当性能指数的海森矩阵为负定时，性能指数取得最大值；当性能指数的海森矩阵为正定时，性能指数取得最小值。接下来，将证明在式（8-66）中，符号为正时性能指数取得最小值，而在符号选择负号时性能指数取得最大值。当增益是列向量时，再次对式（8-56）进行微分，进而获得性能指标的海森矩阵：

式（8-68）显示，海森矩阵是对角矩阵，根据式（8-66），有

根据式（8-67），式（8-69）可以改写为

回顾式（8-52），可以得出

式中：r为标量测量噪声的协方差。(www.daowen.com)

根据式（8-70）和式（8-71），当选择正号时，海森矩阵是正定的，性能指数会出现最小值；当海森矩阵是负定时，性能指数会出现最大值。为了证明在式（8-66）中取正号时，矩阵是正定的，把项θ＋λk＋1改写为

将式（8-72）等号两边同时乘ηk＋1，可得

根据式（8-67），在式（8-73）两边同时乘以可得

由于θk＋1是正定的，所以于是，由式（8-74）可以得到

式（8-75）表明是正定的，于是＞0。

8.4.3.2　受约束的卡尔曼增益和协方差矩阵的更新

最小性能指标的最优拉格朗日乘数可以表示为

然后，将式（8-72）代入式（8-62）中，可得

式中：为与扰动相关的局部卡尔曼增益矩阵，并且

根据卡尔曼滤波算法，约束机动估计可以通过进一步预测校正为如下形式：

式中：为无约束估计。

约束估计被归一化以满足约束，并且局部约束卡尔曼增益将估计值投影到由约束条件跨越的m维欧几里得表面，而不是无约束条件方向。除此之外，还有

将式（8-82）代入式（8-81）中，可得

最终，可以得出

式（8-85）表明，可以根据式（8-54）来更新约束后协方差，仅仅将无约束增益替换为约束增益。