从6.1节的观测器设计过程中可知，由于系统的真实状态向量xk无法直接获得，因此使用了受到观测噪声污染的状态向量进行替代，真实的状态向量、受到观测噪声污染的状态向量与量测方程之间的关系可以表示为

式中：量测非线性函数h为C1函数，因此函数h可以展开为

式中：为n×m维的矩阵，矩阵的值为

假设真实的状态向量xk与受到观测噪声污染的状态向量之间的关系为

式中：为与观测噪声及量测相关的误差项，可表示为

定义扰动观测器的估计误差为扰动加速度真实值dk与扰动加速度估计值之差：

将观测器方程（6-12）代入式（6-19），可得

由式（6-17）和式（6-20），有

将式（6-1）和式（6-13）代入式（6-21），可得

将式（6-12）与6.1节选定的矩阵Γ＝代入式（6-22），可得

式中：非线性函数f为C1函数，函数f可以展开为

式中：Φk为m×m维的矩阵，矩阵的值为

将式（6-23）重新整理，可得

将式（6-24）代入式（6-26），可得

定义扰动观测器的增益矩Lk-1值为

显然，要使扰动观测器的估计误差有界，增益矩阵需满足如下条件：

即

随着时间不断增大，即最终可得扰动观测器的估计误差表达式为

为了便于证明，现引入如下引理。

引理6.1　现有一个由式（6-1）和式（6-2）给出的非线性随机系统，以及相应的由式（6-12）和式（6-13）表示的扰动观测器，假设如下：

（1）当k≥0时，存在正实数使得下列矩阵的范数有界：

（2）假设

（3）存在正实数κφ，当x，满足时，使得非线性函数φ有界，即(www.daowen.com)

当上述假设成立时，则非线性扰动观测器的估计误差有界。

证明：为了降低扰动加速度变化率对估计误差的影响，假设中对扰动观测器的增益矩阵进行了约束，如式（6-38）所示，估计误差受扰动加速度变化率影响的项可以表示为

根据开始对非线性系统的定义，可得

对式（6-41）左侧取范数，有

根据范数的性质，由线性化引起的误差项lk-1可以表示为

将式（6-37）代入式（6-43），可得

由量测噪声引起的误差项的范数可以写为

由式（6-36）和式（6-37），可得

由过程噪声引起的误差项均方值的范数为

根据假设中的式（6-37），有

式（6-48）等号两侧均为标量，因此对等号的右侧取迹，对等式的成立不造成影响，可得

根据迹的性质，有

式中，不妨假设γ和Δ的维数可以使矩阵乘法及求迹的过程成立，故式（6-47）可以写为

然后，对等式两侧取平均值，有

根据矩阵Gk的定义，可得

式中：n为矩阵Gk的行数。

由式（6-51）和式（6-52），式（6-50）可以表示为

式（6-65）说明该随机过程有界（最好引证），为了便于描述，假设

根据范数的基本性质，估计误差的范数满足如下不等式：

将式（6-42）、式（6-44）、式（6-46）和式（6-56）代入式（6-57），可得

因此，说明了在假设成立的前提下，扰动观测器的估计误差是有界的。此外，误差分析的方程说明非线性扰动观测器的估计误差受到5个因素影响：采样周期、扰动观测器的增益矩阵、系统的非线性强弱、测量噪声和过程噪声。在实际的工程应用中，非线性的系统特性是确定的，与系统非线性相关的参数是确定的，如为了提高非线性扰动观测器的估计精度，可供调节的参数为采样周期T0、扰动观测器的增益矩阵Lk以及测量噪声vk，可调参数对误差的影响及敏感度分析将在综合仿真分析中给出。