从理论上说，在已知一条曲线的单参数方程的情况下，可以直接通过微分方法求得其曲率和挠率，从而这条曲线的所有空间拓扑性质都能够推导得到。但是具体到式（2-111）描述的曲线，其参数方程形式已经相当复杂，再对其作高阶求导处理，表达式将更加复杂，并不便于分析。因此，这里采用一种更直接的方法。

若式（2-111）刻画的曲线为平面曲线，设其所在平面的方程为

将式（2-111）代入式（2-141），可以得到一个关于s的四次多项式，设

其中，各系数的具体形式为

式（2-142）对所有s均成立，因此其系数应全部等于0，则

转化为矩阵形式为(www.daowen.com)

记式（2-145）左边关于ni（i＝1，2，3，4）的系数矩阵为χ，容易看出rank（χ）＝4，即式（2-145）的5个方程中只有4个是相互独立的。

式（2-146）可简化为

式中：n＝［n1，n2，n3，n4］T。

当e＝0时，显然有rank（Λ）＝3＜4，这意味着式（2-147）存在非零解，从而说明圆轨道周期相对运动的轨迹一定是平面曲线。当e≠0时，只有在c2＝c3＝0和c5＝c6＝0时，rank（Λ）＝3。除此之外，在任意方向运动都不退化为0的情况下，一定有Λ满秩，从而式（2-147）只有零解。由此可以得出结论，椭圆轨道周期相对运动的轨迹通常为三维空间曲线。