在满足式（2-104）即c4＝0的条件下，椭圆轨道相对周期运动可描述为

转换为时域坐标，有

式（2-108）为以主航天器真近点角为参数的周期相对运动轨迹方程。由此可知，周期相对运动的周期与主航天器轨道周期相等，并且由于方程的强非线性，轨迹的具体形式受积分常数ci（i＝1，2，3，5，6）的影响很大。例如，若5个积分常数中仅c1不为0，则周期轨迹实际为沿y轴的一条直线；而当仅有c5和c6等于0时，周期轨迹为平面曲线。直接研究周期轨迹的空间性质比较困难，本节只讨论它在各个坐标平面上的投影曲线的性质。

因为相对运动以主航天器轨道周期为周期，将主航天器真近点角f限制在区间［0，2π）便足够了。但是，由于三角函数的存在，直接以f为参数并不便于进一步的研究，引入以下变换：

将式（2-110）代入式（2-107），可得代数化的相对周期运动方程：

必须指出的是，虽然变换式（2-109）在f＝π时不连续，但是这并不影响s的取值范围为整个实数域。因此，可以使用式（2-111）代替最初的相对周期运动方程式（2-108）研究相对轨迹的几何特性。可以看出，以s为参数的轨迹方程形式相当复杂。可以明确的是，周期相对轨迹在各坐标平面内的投影一般为四次曲线，本节将主要探讨投影曲线的自相交性质。

对于一条曲线，如果它不少于两次通过某一个点，则这条曲线自相交，这个点为该曲线的一个自相交点。对于单参数曲线方程，若其自相交，则在数学上意味着有两个不同的参数值对应同一个坐标值。对于式（2-111）中的第一个方程，设有不等的参数s1、s2对应同一个x，则(www.daowen.com)

将式（2-112）化简，可得

由于s1与s2不相等，所以项s1-s2可以从式（2-113）中消去，同时令

则由式（2-113）可得

同理，可得y方向和z方向的相应关系式为

同时，由式（2-114）可得，参数m和n对应于一个一元二次方程x2-mx＋n＝0，s1和s2为此方程的两个根。为了保证s1与s2为不等实数，方程的判别式应大于0，即

对于曲线在某一坐标面的投影，联立式（2-115）～式（2-117）及式（2-118），求解满足条件的m和n，每有一组解则意味着投影曲线有一个自相交点。