（一）动态平均指标的概念

由于动态数列中的各项指标数值随着时期的不同而变化，为了表明某种现象在一段时间内发展变化的一般水平或速度，就需要计算动态数列平均数。所谓动态平均指标就是动态数列中各项指标数值加以平均而得出来的平均数，在统计上又称为动态平均数或序时平均数。动态平均数包括平均发展水平、平均增长量、平均发展速度和平均增长速度等。

序时平均数与第五章介绍的一般（静态）平均数都是将现象的数量差异抽象化，概括地反映现象的一般水平，但两者存在以下区别。

1.抽象的对象不同

一般平均数是将总体各单位某一数量标志值的差异加以抽象，而动态平均数是将某一统计指标在不同时间上的数量差异加以抽象。

2.计算的目的和作用不同

一般平均数是用来反映现象在一定时间、地点、条件下所达到的一般水平，而动态平均数是反映现象在不同时间内发展变化所达到的一般水平或一般速度。

3.计算所依据的资料不同

一般平均数主要是根据变量数列计算的，而动态平均数主要是根据时间数列计算的。

（二）动态平均指标的计算

动态平均指标主要包括平均发展水平、平均增长量、平均发展速度和平均增长速度等指标。这些指标的计算方法各不相同，现分别说明如下。

1.平均发展水平

平均发展水平是指发展水平的平均数，用来反映现象在较长时间内发展所达到的一般水平。平均发展水平可以根据总量指标时间数列计算，也可以根据相对指标时间数列或平均指标时间数列计算。从计算方法上讲，根据总量指标时间数列计算平均发展水平（即序时平均数）是最基本的方法。现分别介绍如下：

（1）由总量指标时间数列计算平均发展水平

总量指标时间数列分为时期数列和时点数列，由于它们的性质不同，计算平均发展水平时方法也不一样。

（i）由时期数列计算平均发展水平，采用简单算术平均法。即以数列中时期项数除各时期的指标数值之和所得。其计算公式为

式中：a——代表平均发展水平；

　　　ai——代表各期发展水平（i＝1，2，3，…，n）；

　　　n——代表数列中时期项数。

例8-5 某企业2019年上半年工业总产值资料如表8-10所示。

表8-10　某企业2018年上半年工业总产值资料

该企业2019年上半年月平均总产值为

（ii）由时点数列计算平均发展水平，因掌握的资料情况不同，具体方法也不一样。分连续时点数列和间断时点数列两种。

第一，由连续时点数列计算平均发展水平。连续时点数列没有间隔，但时点数值有不同的变动情况，它可以连续不断地变动，也可以在一段时间内持续不变，持续不变的时间可长可短。因此，在计算平均发展水平时有所不同。

①连续变动的连续时点数列的平均发展水平，直接采用简单算术平均法计算。即以时点数值的个数除各时点值之和所得。计算公式为

式中：∑a为各时点值之和。

例8-6 某车间某月上旬职工人数变动如表8-11所示：

表8-11　某车间某月上旬职工人数变动表

该车间某月上旬平均职工人数：

②非连续变动的连续时点数列的平均发展水平，采用加权算术平均法计算。即以每次变动持续的时间间隔长度（f）为权数对各时点数值（a）加权。计算公式为

例8-7 某工厂6月1日至6月10日的工人数均为500人，6月11日至6月25日工人数均为540人，6月26日至6月30日工人数均为530人，则该厂6月份平均工人数为

第二，由间断时点数列计算平均发展水平。在间断时点数列中有间隔相等和间隔不等两种情况。

①由间隔相等的间断时点数列计算平均发展水平。在实际工作中，对于时点指标为了简化统计登记手续，往往每隔一定时间登记一次，时点通常定在月（季、年）初或月（季、年）末，如企业职工人数、商品库存量等，这样就形成了间隔相等的间断时点数列。根据这种数列计算平均发展水平，要假定所研究的现象在两个相邻时点之间的变动是均匀的，因而可将相邻两个时点数值相加除以2，求得表明两个时点之间的简单平均数，然后根据这些平均数，再用简单算术平均法计算整个所研究的时间内的现象的平均发展水平。

例8-8 某企业2018年第三季度各月月末职工人数资料如表8-12所示。

表8-12　某企业三季度各月月末职工人数资料

根据上表资料计算第三季度月平均职工人数如下：

我们知道6月30日是6月份的结束，也是7月份的开始，6月末的职工人数即为7月初的职工人数，依此类推。

上述计算第三季度月平均职工人数的两个步骤可以合并简化为

将上述计算过程概括为一般公式，即

式中：a——表示平均发展水平；

　　　a——表示各项时点指标数值（i＝1，2，3，…，n）；

　　　n——表示时点指标数值的项数。

由此可见，在间断时点数列间隔相等的情况下，计算平均发展水平，只要将首末两项时点数值折半，加上中间各项数值，再除以项数减1即可，这种方法在统计上被称为“首尾折半法”或“简单序时平均法”。

②由间隔不相等的间断时点数列计算平均发展水平。如果掌握了间隔不相等的间断时点资料，则可用各时间间隔长度（f）为权数，对各相应时点的平均水平加权，应用算术平均法计算平均发展水平。这种方法叫作“加权序时平均法”。其计算公式如下：

例8-9 某企业2019年各月职工人数资料如表8-13所示，计算平均人数。

表8-13　某企业三季度职工人数资料　单位：人

我们假定间隔的各时点之间指标数值是均匀变化的，则可利用加权序时平均法计算该企业2019年月平均职工人数为

应该注意的是，根据间断时点数列计算平均发展水平，是以被研究的现象在相邻两个时点之间均匀变动为前提，但实际上现象的变动并非完全如此。因此所求结果只是一个近似值。为了使其计算结果尽可能的反映实际情况，间断时点数列的间隔不宜过长。

（2）由相对指标时间数列计算平均发展水平

相对指标有静态相对指标和动态相对指标之分，这里指的是由静态相对指标形成的时间数列。它一般是根据两个具有密切联系的总量指标时间数列相对比而得到的相对指标所构成的。由于各相对指标比较基数不同，因而不能根据相对指标时间数列中的各指标直接相加计算平均发展水平。

根据相对指标时间数列计算平均发展水平，其基本方法是：首先计算构成该相对指标时间数列的分子与分母数列的平均发展水平，然后再将这两个平均发展水平对比求得。计算公式如下：

式中：a——表示分子数列的平均发展水平；

　　　——表示分母数列的平均发展水平；

　　　——表示相对指标的平均发展水平。

应注意的是，在计算分子数列和分母数列的平均发展水平时，首先必须分清分子、分母数列是属于时期数列，还是属于时点数列，然后分别计算各自的平均发展水平。一般有以下三种情况：

（i）由两个时期数列对比所形成的相对指标时间数列计算平均发展水平。计算公式为

相对指标分子、分母资料均齐全，即有a，b的资料，运用此式计算c。

由于c＝，所以a＝bc，将a＝bc代入上式得

有相对指标的分母资料b，缺少分子资料a时，运用此式计算。

有相对指标的分子资料a，缺少分母资料b时，运用此式计算。

例8-10 甲、乙、丙三个企业2019年第二季度工业产值计划完成资料如表8-14所示。试确定三个企业二季度的计划完成程度。

表8-14　企业第二季度计划完成情况表

甲企业第二季度月平均计划完成程度：

乙企业第二季度月平均计划完成程度：

丙企业第二季度月平均计划完成程度：

计算结果表明，丙企业第二季度产值计划完成情况要好于甲、乙两个企业。

（ii）由两个时点数列对比形成的相对指标时间数列计划平均发展水平。如前所述，时点数列有连续和间断之分；连续时点数列又分为连续变动和非连续变动时点数列，间断时点数列又有间隔相等和间隔不等之分。因而其具体计算方法不一样，但其基本原则还是先将该相对指标的分子、分母分别计算平均发展水平，然后将其进行对比即可。现以两个间隔相等的间断时点数列对比形成的相对指标时间数列计算平均发展水平的方法为例加以说明，其计算公式为

例8-11 某企业2019年第三季度各月月末非生产人员和职工人数资料如表8-15所示，试计算该企业第三季度平均非生产人员占职工人数的比重。(www.daowen.com)

表8-15　某企业非生产人员占职工人数比重资料

该企业第三季度月平均非生产人员占职工人数的比重为

（iii）由时期数列和时点数列对比所形成的相对指标时间数列计算的平均发展水平。其计算公式仍然是：

在公式中，不同的是：a与b一个是时期指标，一个是时点指标。在具体计算过程中应分别按照分子、分母指标的性质选用适当的方法计算。

例8-12 表8-16是某商店2019年第二季度各月的商品流转次数等资料，要求计算各月平均商品流转次数（商品流转次数等于商品流转额与商品库存额之比）。

表8-16　某商店商品流转次数资料

在表8-16的资料中，商品流转额是时期指标，月初商品库存额是时点指标，要计算平均商品流转次数，首先必须求出其分子、分母的平均数，然后进行对比。在计算平均商品流转次数时，绝不能将各月的商品流转次数简单平均来计算，即

第二季度各月平均商品流转次数应为

（3）由平均指标时间数列计算平均发展水平

平均指标时间数列可由一般平均指标和动态平均指标组成。两种不同的平均指标数列的平均发展水平的计算方法也不同。对于一般平均指标所组成的时间数列，实质上就是两个总量指标时间数列相对应项对比形成的，即分子数列是标志总量数列，分母数列是总体单位总数数列。计算这种平均指标时间数列的平均发展水平和前面介绍的计算相对指标时间数列的平均发展水平相同、即先计算出该平均指标的分子、分母的平均数，然后进行对比。计算公式为

对于由动态平均指标所形成的时间数列的平均发展水平的计算，分以下两种情况：

（1）时期相等，采用简单算术平均法计算。其计算公式为

例8-13 某企业2019年第二季度各月原材料的平均库存额资料如表8-17所示，试计算第二季度平均库存额。

表8-17　某企业第二季度各月原材料平均库存额

则第二季度月平均库存额为

（2）时期不等，则以不同时期为权数，采用加权算术平均法计算。计算公式为

例8-14 某企业2019年职工人数1月份平均为520人，2—3月份平均每月535人，第二季度平均每月为540人。则上半年平均每月职工人数为

2.平均增长量

平均增长量是指逐期增长量的平均数，用来反映现象在较长时间内增长的一般水平。

其计算公式为

由于各逐期增长量之和等于对应的累计增长量，故上式又可写成：

3.平均发展速度和平均增长速度

平均发展速度是指被研究现象在一段时间内各环比发展速度的平均数，说明某种现象在一个较长时期中逐年平均发展变化的程度；平均增长速度是指各环比增长速度的平均数，它说明某种现象在一个较长时期内逐年平均增长变化的程度。平均发展速度和平均增长速度统称为平均速度指标。

平均发展速度与平均增长速度的关系是：

平均发展速度始终为正值，而平均增长速度则可为正值，也可为负值。正值表明现象在一段时期内平均递增程度，负值表明现象逐期平均递减程度。

关于平均速度指标的计算，主要是对平均发展速度的计算，只要求得了平均发展速度，平均增长速度通过平均发展速度减去100%便可取得。

平均发展速度的计算方法与前所述的几种动态平均指标的计算方法不同，在实际中，由于对现象考察的重点不同，平均发展速度通常采用两种方法计算，即几何平均法和方程式法。

（1）几何平均法（又称水平法）

按这种方法计算平均发展速度的数理依据是：从最初水平出发，按平均发展速度逐期发展，经过n期后即可达到末期的发展水平。由于各环比发展速度的连乘积等于第n期的定基发展速度（又称总速度），故其平均速度只能用几何平均法计算：

设x代表平均发展速度，x代表各环比发展速度，n代表各环比发展速度的项数，代表连乘符号，其计算公式为

由于各环比发展速度的连乘积等于最末期的定基发展速度，上式又可写成：

式中：R代表总速度（即定基发展速度）。

以上两个公式虽然计算形式有所不同，但实质一样，我们可以根据所掌握的资料的不同，选择应用。

例8-15 某钢厂2015年的钢产量为134.9万吨，2019年为535万吨，求该厂钢产量的平均发展速度。

计算结果表明，该厂在此期间钢产量平均每年的发展速度为131.73%，每年平均递增31.73%。

另外，当某种现象其发展过程划分为若干个时期，同时又具备各时期的平均发展速度，若求全过程的平均发展速度，则要以各时期的时间长度为权数，按加权几何平均法计算。其计算公式为

例8-16 某种产品2015—2016年的平均发展速度为108%，2017—2019年的平均发展速度为110%，则5年的平均发展速度为

用几何平均法计算平均发展速度是最常用的方法。利用它不仅可以计算平均速度指标，而且还可以推算最末水平和时间。

例8-17 某厂2014年产值为300万元，若今后产值每年的平均发展速度为110%，到2019年产值应为多少万元？

300×1.155＝483.15（万元）

（2）方程式法（又称累计法）

按此种方法计算平均发展速度的数理依据是：从最初水平出发，每期按平均发展速度发展，经过n期后，各期计算的理论水平之和应等于各期实际的发展水平之和。

a0设为最初水平，a1，a2，a3，…，an为各期实际水平，x为平均发展速度，则按平均发展速度所推算的各期理论水平为

我们要求推算的理论水平之和应等于各期实际水平之和，于是有

这个方程的正根，就是根据方程式法所求的平均发展速度。但由于这个方程的球界十分复杂，为了简化计算手续，故在实际工作中常用查表法计算平均发展速度。即查累计法《平均增长速度查对表》取得平均发展速度。

下面介绍查表步骤：

（i）计算累计定基发展速度，作为查表依据。

式中：∑y为定基发展速度之和。

（ii）确定递增或递减，方法是：

当＜100%为递减，查表时在递减速度部分查找。

（iii）查表。现举例说明如下。100%为递增，查表时在递增速度部分查找；当

例8-18 2014年某地区基本建设投资总额为7.4亿元，2015—2019年5年基本建设投资总额为45亿元，各年发展总和为基期的：

现将与此资料有关的方程式法平均速度查对表的部分数据摘录如表8-18所示。

表8-18　平均增长速度查对表

查出表中增长速度部分间隔期5年栏内的608.11%接近，此书同行左端的数值为6.6%，即平均增长速度为6.6%，故所求的平均发展速度为106.6%（这是近似值，若要更准确些，可用插值法的数值进行调整）。

以上我们介绍了平均发展速度的两种计算方法——几何平均法和方程式法。用这两种方法计算平均发展速度不仅结果不同，而且还存在着以下几方面的区别：

（i）数理依据不同。

（ii）考察重点不同。几何平均法着重考察最末水平（an），而方程式法则着重考察累计水平（∑a）。

（iii）影响因素不同。几何法只受最初水平和最末水平的影响，不反映中间各期水平的变动；方程式法则受各期发展水平的影响。

（iv）适用条件不同。按几何平均速度推算的末期定基发展速度和最末水平与实际相同，因此它适用于水平计划的编制和检查。如工农业生产、运输、商业、劳动工资、人口增长等现象，侧重考察最末一年所达到的水平，在计算这些现象的平均速度时适宜采用几何平均法；按方程式法平均速度推算的累计定基发展速度和累计水平与实际相同，因而它适用于总额计划的编制和检查。如固定资产投资额、地质勘探、城市公用事业、造林、毕业生人数等指标，侧重考察全期计划完成情况，在计算这些指标的平均速度指标时宜采用方程式法。

（3）计算和应用平均速度指标应注意的问题

首先，要结合具体研究目的适当地选择基期。由于基期水平对平均速度指标影响重大，如果基期水平因受特殊因素的影响而过高或过低，用这样的资料来计算平均速度，就会降低这一指标的意义，甚至会失去代表性而不能说明现象变化发展的真实情况。

其次，应用分段平均速度或用突出的个别环比速度来补充。因为根据几何平均法求得的平均速度指标，实际只反映最初和最末水平的变化，并不反映中间各年的实际变化，因此当研究时期过长时，为了避免由于中间各期波动过大或不同的变化方向而降低平均速度指标的代表性，应计算分段平均速度指标来补充说明总平均发展速度，这对于全面、深入地了解现象的整个过程的变化情况很有必要。

最后，要结合发展水平、经济效益来研究平均速度指标。在经济生活中，有可能出现高速度下的低水平、低效益，或者是低速度背后隐藏着高水平、高效益，如果将水平指标、经济效益及各种速度指标结合起来，对现象进行综合分析，这样更有利于揭示现象发展变化的规律性。