【摘要】:当调查变量和辅助变量具有正相关关系时,为了利用辅助变量的信息,可以构造总体均值或总体总值的比率估计量。在简单随机抽样中,总体均值和总体总值的比率估计量分别为其中,或X必须已知。其方差估计量为例4.1某县为估计全县的小麦产量,在全县N=576个村中用简单随机抽样抽了n=24个村,调查了这些村的小麦产量,表4-1记录了调查结果及这些村的小麦种植面积。试对该县小麦总产量Y进行比率估计,并对比率估计与简单估计的精度加以比较。
前面两章所讨论的估计量只是利用了调查变量的信息,这样的估计量称为简单估计量。当调查变量和辅助变量具有正相关关系时,为了利用辅助变量的信息,可以构造总体均值或总体总值的比率估计量。在简单随机抽样中,总体均值和总体总值的比率估计量分别为
其中,或X必须已知。当n充分大时
即,与
分别是
与Y的渐近无偏估计,其方差为
这表明,比率估计量是近似无偏估计量,随着样本量的增大,估计量的偏倚越来越小,精度也越来越高。其方差估计量为
例4.1 某县为估计全县的小麦产量,在全县N=576个村中用简单随机抽样抽了n=24个村,调查了这些村的小麦产量,表4-1记录了调查结果及这些村的小麦种植面积。已知全县小麦种植面积总和为21875.6公顷。试对该县小麦总产量Y进行比率估计,并对比率估计与简单估计的精度加以比较。
表4-1 某县小麦产量调查资料
资料来源:冯士雍,施锡铨编写的《抽样调查——理论、方法与实践》,上海科学技术出版社,1996。
解:根据表4-1,计算得到有关样本的数据如下:
(www.daowen.com)
于是,该县的小麦每公顷总产量的比率R的估计量为
小麦总产量Y的比率估计为
为求̂及
的方差和标准差的估计,注意到此时
根据式(4.7)得
根据式(4.16)得
作为比较,若按简单估计,有
由此可见,在此例中,比率估计量ŶR要比简单估计量Ŷ精确。
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