（一）总体均值估计量的方差

对于一般的分层抽样，由于各层的抽样是相互独立的，诸也相互独立，因此总体均值估计量的方差是总体各层均值估计量方差的加权平均，即

式中V 是第h层总体均值估计量的方差。

对于分层随机抽样，则有

可见，在分层抽样中，总体均值估计量的方差只与各层内的方差有关，而与层间方差无关。而总体方差又是由层内方差与层间方差两部分构成的，所以，估计量的方差小于总体方差。

（二）总体总值估计量的方差

有了总体均值估计量的方差，可推导出总体总值估计量的方差

对于分层随机抽样，则有

（三）总体比例估计量的方差

估计总体比例，当Nh充分大时，有

对于分层随机抽样，则有

四、简单估计量方差的估计量

按上述方法确定估计量的方差时，要求各层的总体方差应事先已知，但实际工作中，各层的总体方差又常常是未知的，一般可用对应的各层样本方差替代，对估计量的方差作出估计。

且，与分别是与V无偏估计。

当用样本资料估计方差V时，可将用替代，则得

且是V的无偏估计。

例3.1　（续例2.1）在例2.1中，已知该专业有男生660名，女生540名，为了方便调查，采用分男生、女生的分层随机抽样抽得36名学生进行调查，调查数据如表3-1所示（单位：小时）。试估计该专业大学生每天平均上网时间，并求出95%置信水平下的置信区间。

表3-1　分层随机抽样调查36名学生每天上网时间

(www.daowen.com)

解：由题意及表3-1数据可知，N=1200，N1=660，N2=540，nh=18(h=1，2)，各层的层权及抽样比为：

各层样本均值及样本方差为：

估计该专业学生每天平均上网时间为

估计量̂的方差及标准差的样本估计为

则

故该专业大学生每天平均上网时间在95%置信水平下的置信区间估计为

例3.2　Sniff和Skoog（1964）于1962年2月采用分层随机抽样估计阿拉斯加州北美驯鹿Nelchina种群的数量，在1月和2月对一些抽样技术进行了实地测试。实地测试表明，几种设想的抽样单元（如等时间间隔的抽样单元）是难于操作实施的，而4平方英里的等区域抽样单元对于调查更为合适。生物学家根据先前对北美驯鹿密度的估计数据将目标地区划分为6层；在每一层内再将土地划分为4平方英里大小的方格作为抽样单元。例如在A层中包含了N1=400个抽样单元，调查时从中随机选取了n1=98个单元。报告的数据如表3-2所示。

表3-2　样本相关数据

资料来源：Sharon L.Lohr著，金勇进编译的《抽样：设计与分析》，中国统计出版社，2009。

解：根据表3-2数据，计算执行分层抽样所需的数据如表3-3所示。

表3-3　计算所得相关统计量的值

总体总值的估计量为

估计量的方差估计为

则，

故北美驯鹿总数量的估计值是54497只、标准差为5840只。北美驯鹿总数量的95%置信区间近似为

当然这个置信区间只是反映由抽样误差造成的不确定性，如果在实地调查中漏计了北美驯鹿的数量，那么整个置信区间将会是偏低的。