如前所述，在容量为N的总体中，抽取容量为n的样本时，可能抽到的样本不止一个。对每一个可能的样本，都可获得统计量样本均值、样本比例p等的一个具体数值。可见，样本统计量是个随机变量。

我们把根据所有可能样本计算出来的某一统计量的数值分布，称为抽样分布。抽样分布理论是理解抽样调查基本原理的基础。常见的抽样分布有极限分布和精确分布两类。极限分布也称为大样本分布，它只有正态分布一种形式；精确分布又称为小样本分布，其前提是总体服从正态分布，它是正态分布的导出分布，包括有χ2分布、t分布和F分布等形式。

（一）样本统计量的极限分布

样本统计量有很多，这里只考察关于样本均值和样本比例的抽样分布。

例1.1　现从正态分布总体Y～N(100，625)中抽取容量为n=5的所有可能样本，经计算得知样本均值的分布为～N(100，125)。当n=20时，样本均值的分布为～N(100，31.25)，如图1-5所示。

图1-5　样本容量增加后抽样平均数的分布情况

一般地，可以证明如果总体服从正态分布，且总体均值和方差均为已知，即Y～N(μ，σ2)，则不论样本量n大小如何，样本均值均围绕总体均值而服从正态分布，并且其抽样分布的方差等于总体方差的1n，即～N(μ，σ2/n)。

而对于非正态总体，若均值μ和σ2有限，则根据中心极限定理，当样本量n充分大时，样本均值仍然围绕着总体均值而近似地服从正态分布，即～N(μ，σ2/n)。

例1.2　总体N=5，Y={40，50，60，70，80}，则其次数分布如表1-2所示。

表1-2　n=1时样本均值的次数

E(Y)=μ=60，V(Y)=σ2=200，用图形表示，则如图1-6所示。

图1-6　n=1时样本均值的次数分布

若取n=2，用放回抽样则可抽Nn=52=25个简单随机样本，其样本均值如表1-3所示。进一步整理后，即可得出关于样本均值的次数分布情况如表1-4，用图形表示如图1-7。

表1-3　n=2时样本均值

表1-4　n=2时样本均值的次数

图1-7　n=2时样本均值的次数分布

如果总体容量较大，则当样本容量逐步扩大时，样本均值的分布趋于正态分布的趋势更加明显，如图1-8所示。

图1-8　的抽样分布与总体分布的比较

上面的结论在样本比例的抽样分布中同样成立，即对任意一个比例为P的二项分布总体，当n足够大（np＞5，n(1-p)＞5）时，则样本比例p趋于服从正态分布，样本均值为p，方差为。因此，标准随机变量趋于服从标准正态分布。

（二）样本统计量的精确分布

1.χ2分布

设随机变量Yi～N( 0 ， 1)（i=1，2，…，n），且相互独立，则Y=服从自由度为n的χ2分布，记作Y～χ2(n)。(www.daowen.com)

χ2分布的概率密度函数为

式中，n是正整数，Γ(n/2)是Γ（伽马）函数

当y=n/2时的函数值。

χ2分布的主要性质有：①f(y)恒为正；②χ2分布呈右偏形态；③χ2分布随n的不断增大而逐渐趋于正态分布。

可以证明，χ2分布χ2(n)的数学期望和方差分别为

2.t分布

若X～N(0 ， 1)，Y～χ2(n)，且X与Y相互独立，则称随机变量

服从自由度为n的t分布，记作：T～t(n)。

由此也可以推论出关于t分布的如下定义方式：若X～N(μ ， σ2)，σ2未知，则

服从自由度为n-1的t分布，记作：T～t(n-1)，其中：

t分布t(n)的概率密度函数为

t分布具有如下性质：①t分布对称于纵轴，与N(0 ， 1)相似；②在n＜30（小样本）时，t分布的方差大于N(0 ， 1)的方差；③在n≥30（大样本）时，t分布随n的增大而趋于N(0 ， 1)。

可以证明，t分布t(n)的数学期望与方差分别为

3.F分布

若X～χ2(n1)，Y～χ2(n2)，且X与Y相互独立，则称随机变量

服从第一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布，记作：F～F(n1 ， n2)。

如果X～F(n1，n2)，则其概率密度函数为

F分布的主要性质有：①F分布呈右偏态；②f(x)恒为正；③在处取最大值（n1＞2，f0＜1）；④随n1，n2的不断增大，F分布的右偏程度逐渐减弱，但不会趋　向　正　态；⑤具　有　倒　数　性　质，即　若X～F(n1 ， n2)，则1/X～F(n2 ， n1)；⑥若t～t(n)，则t2(n)～F(1 ， n)。

若X～F(n1 ， n2)，则其数学期望和方差分别为