印度人对代数学作出了重大贡献，他们用缩写文字和一些记号来描述运算，加法不用记号，被减数上面加个点表示减法。已知的整数，前面冠以rū(来自绝对数rūpa一词)；未知数称为yāvat tāvat，用音节yā来表示.如果遇到几个未知数，那么用各种颜色来区别：kā(kālaka，黑色的)、nī(nīlaka，蓝色的)、pī(pītaka，黄色的)、lo(lohitaka，红色的)等等.未知数的二次幂用varga一词的va这个音节来表示；三次幂用ghata的音节gha来表示。并且借助va和gha两个符号表示未知数的更高次幂：va va表示四次幂；va gha ghata表示五次幂；va gha表示六次幂；va va gha ghata表示七次幂；va va va表示八次幂；

这套符号虽然不多，但足够使印度代数几乎称得上是符号代数，并且符号比丢番图的缩写代数用得多。虽然印度学者创立的符号很笨拙，符号本身即梵文字母的形状很复杂，但是，他们的工作预示了新数学的发展方向。他们的后继者——阿拉伯国家和中亚地区的学者不仅没有前进一步，而且几百年来都是用“词语书写”来表示代数式及其运算。

这些缩写符号促进了代数学的发展。阿耶波多Ⅰ的著作中出现了一次方程的问题。他给出的方程相当于ax+b=a1 x+b1，但没有求出它的解。

晚期学者的著作中，可以见到线性方程组的问题。印度数学家没有像中国古代学者那样建立解线性方程组的一般方法，而是把它们作为锻炼智慧的工具。例如，婆什迦罗Ⅱ提出这样一个问题：甲、乙二人各有若干卢比，若乙给甲100卢比，那么甲的卢比是乙的二倍；若甲给乙10卢比，则乙的卢比是甲的六倍，问甲、乙二人各有多少卢比?如列方程，则相当于

x+100=2(y-100)，

y+10=6(x-10)。

婆什迦罗Ⅱ指出，如果甲有(2x-100)个卢比，那么在第一种情形下，乙应有(x+100)个卢比。由此可化为具有一个未知量的方程

x+110=6(2x-110)。

这种引进辅助未知量的方法很像丢番图的方法(以(x+100)代替第二个方程中之y，而以2x-100代替此方程中之x)。

印度代数的较大成就是引进了负数，当问题涉及到债务或反向运动时，印度人使用了负数，他们像运用正数一样运用负数。但是在有关一次方程的问题中没有见到负数解。

印度学者解二次方程的方法比丢番图优越。在《阿耶波提亚》中就有关于求解完全二次方程的问题。其中一个问题是根据算数级数的和S、第一项a和公差d求项数，相当于方程

dn2+(2a-d)n=2S。

他用文字给出了一个正根。

婆罗摩笈多的著作对二次方程进行了详细的讨论，他的长足进步在于给出了解方程

ax2+bx+c=0(a＞0，b、c可为负数)的一般方法。

在婆罗摩笈多的著作中，人们发现了对负数进行加法和减法的解释。他把正数称为“财产”，负数称为“债务”。加减法的运算法则是：“两个‘财产’之和是‘财产’，两个‘债务’之和是‘债务’，‘财产’和‘债务’之和是他们的差，而如果它们相等则和是零，‘债务’与零之和是‘债务’，‘财产’与零之和是‘财产’，两个零之和是零。”对于减法，婆罗摩笈多指出，“如果大减小，则‘财产’减‘财产’得‘财产’，‘债务’减‘债务’得‘债务’，如果小减大，则结果刚好相反，零减‘债务’得‘财产’，零减‘财产’得‘债务’，‘债务’减零得‘债务’，‘财产’减零得‘财产’；为了从‘债务’中减‘财产’或从‘财产’中减‘债务’，必需求出它们的和，前者应得‘债务’，后者应得‘财产’。”

婆罗摩笈多的法则本质上与中国古代《九章算术》的相同，但增加了

(+a)+(-a)=0，

0+0=0，

(±a)-0=±a。

在婆什迹罗Ⅱ的著作中出现了负数的乘、除法法则。即两个“财产”或两个“债务”之积是“财产”，“财产”乘“债务”是“债务”；除法相同。他还进一步说明了正数的平方根计算。他说，“财产”有两个平方根，一个是“财产”，一个是“债务”。这就给出了正数平方根的双值性。但对虚数没有认识，他声称“债务”不能是平方数。

由于婆什迦罗Ⅱ认识到了正数平方根的双值性，所以对于二次方程他也求出了两个根，但他并不是第一个发现这一事实的数学家，这要归功于九世纪上半叶巴格达学者花拉子米。

婆什迦罗Ⅱ的著作中有这样一个题目：“一群猴子在玩耍，其八分之一的平方数个猴子在树林中蹦跳，余下的12只猴子在山顶大声喊叫，请你告诉我一共有多少只猴子?”这个问题经变换得

(x-32)2=256。

婆什迎罗Ⅱ着重指出，32大于256的平方根，所以256的正负两个平方根对此问题都有意义，一般情形他是不取负根的。对于不合题意的正根，他也放弃不取。

在印度学者的著作中还发现一些可以化为二次方程的方程。

在印度数学中，高次方程的解法没有什么进展。只出现几例简单的，或经变换后化为简单的三次或四次方程。婆什迦罗Ⅱ给出下列两个方程

x3-6x2+12x=35，

x4-2x2-400x=9999。

经变换后分别化为

(x-2)3=27

和　　　(x2+1)2=(2x+100)2

在婆什迦罗Ⅱ的著作里出现了无理数和无理式的运算。他把无理数和有理数一样看待，从而获得了相当复杂的关系。

根据这些关系式，他可以任意化简各种复杂的关系式。

在不定方程方面，印度学者取得了很大成就，他们建立了自己的独特方法。这种方法出现在婆罗摩笈多和婆什迦罗Ⅱ的著作中，即所谓的“扩散法”或“研细法”。

为解形如ax+b=cy(1)的方程，婆什迦罗首先说明如何求两个数的最大公因数。并指出，如果自由项b不能被未知量系数的最大公因数整除，那么方程无解。婆什迦罗解方程(1)的方法本质上与现代借助于连分数的方法没有区别。我们用现代的符号简要说明之。(www.daowen.com)

通常把这个连分数缩写为

[q0，q1，q2，…，qn-1，qn]。

x=(-1)n bQn-1+Qn t，

y=(-1)n bPn-1+Pn t。

连分数中的qk是在求a与c的最大公约数的过程中得到的，即运用欧几里得辗转相除法

a=cq0+c1，

c=c1 q1+c2，

……

cn-2=cn-1 qn-1+cn，

cn-1=cn qn。

此处cn=(a，c)，如果cn=1，则(a，c)=1。

考虑婆什迦罗Ⅱ的一个例子：

60x+16=13y(n为奇数)

于是 x=-80+13t，y=-368+60t。

当t=7时得到方程的最小正整数解。

x=11，y=52。

婆什迎罗Ⅱ的计算简写为

1·16+0=16，

1·16+16=32，

1·32+16=48，

1·48+32=80，

4·80+48=368。

用13减80得x=-67，y=60-368=-308。然后他把6·13加在-67上，得x=11，把6·60加在-308上，得y=52。

在婆什迦罗Ⅱ的著作中还有一个不定方程问题与中国古代《张邱建算经》中的“百鸡问题”相类似，称为“百禽问题”，这类问题可能是从中国传入印度的。

印度学者在不定方程方面的重要贡献是解整系数方程

及其特殊情形

这类方程最早出现在古希腊的著作中。例如方程

y2=2x2+1

婆罗摩笈多和婆什迦罗Ⅱ研究了方程(1)和(2)。他们证明：如果从方程的一个解x，y出发(xy≠0)，可以求出无穷多个解来。方程(2)后来又由费马、欧拉和拉格朗日研究，1769年，拉格朗日建立了解方程(2)的完整理论。

从阿耶波多Ⅰ开始，算术级数的求和法就引起了印度数学家的兴趣。他们采用特殊的术语并计算了许多级数的和。

阿耶波多Ⅰ精通算术级数的各种性质，他知道中项、通项和求和公式。他还引进了三角形数、平方数和立方数的求和公式。马哈维拉推广了阿耶波多Ⅰ的结果，得到了算术级数各项平方、立方，以及以算术级数和为通项的级数求和公式。

大约在同一时期，在中国也得到类似结果。

据记载，早在公元前2世纪，印度人就知道了组合数的求法以及公式，婆什迦罗Ⅱ还建立了允许重复的排列数和组合数的计算方法。在《丽罗娃提》中有—个有趣的排列问题：“湿婆神的十只手拿着十件东西：绳子、钩子、蛇、鼓、头盖骨、三叉戟、床架、匕首、箭、弓。如果将这些东西交换，共有多少种不同的方式?正象哈利神四只手交换拿着的狼牙棒、铁饼、莲和贝壳一样。”婆什迦罗Ⅱ也许想使他的学生对这个庞大的数目(101=3，628，800)大吃一惊!

排列组合问题的研究可能与印度人见长于诗歌有关，为求出n个诗步中长短音的配置方法而出现了组合学。