一、王孝通和《缉古算经》

1.王孝通生平

王孝通，唐代数学家。出身平民，自幼喜算。唐初为历算博士，后升任太史丞。武德六年(623)曾批评《戊寅元历》的缺点，武德九年(626)又同大理卿崔善为一起，对该历作了许多校正工作。他的《缉古算经》约成书于626年前后。

王孝通时代，土木建筑发展很快，一些复杂问题超出了原有数学知识的范围。王孝通曾研究过《九章算术》和《缀术》，但当他运用这些书中的数学去解决实际问题时，感到满足不了需要。于是他结合实际，钻研数学多年，创立了不少解决工程问题的新术，成书《缉古算经》。全书共20题，大部分与土木工程有关，也有天文和勾股问题。题目虽然不多，但难度较大，王孝通是特地找那些前人没有研究过或未解决的问题加以研究的。他对自己的著作很自信，进呈皇帝时写了一篇《上缉古算经表》，说：“如有排其一字，臣欲谢以千金。”这种态度当然不够谦虚，但此书水平确实很高，是数学史上的不朽之作。

2.堤坝型体积公式

《九章算术》商功章虽有许多体积公式，但都比较规则，对于上下宽窄不一，前后高低不同的堤坝型体积计算则无能为力。王孝通研究了筑坝、挖河等工程建设中提出的这类问题，在《缉古算经》第3题中建立了新的公式。原题为：“假令筑堤，西头上、下广差六丈八尺二寸，东头上、下广差六尺二寸，东头高少于西头高三丈一尺，上广多东头高四尺九寸，正袤多于东头高四百七十六尺九寸。……”王孝通用文字叙述的方法给出了求这类堤坝体积的一般公式。设东头上宽a，下宽b，西头上宽a′，下宽b′，东头高h，西头高h′，东西水平长l，题中a与a′等长，即使不等长，也适用。凡是有两个面平行的六面体体积都可用公式求出来。

王孝通创立的堤坝型体积公式，在土木工程中有重要意义，遗憾的是他没有留下公式的推导过程。

3.三次方程

《缉古算经》20道题中，绝大部分是三次方程问题，为中国流传至今的最早的三次方程。它们都是x3+ax2+bx=c型的，其中a，b，c是非负有理数且c不为0。王孝通称c为实，b为方法，a为廉法。下面以第2题为例说明王孝通是怎样建立三次方程的。

该题为：“假令太史造仰观台，上广袤少，下广袤多。上下广差二丈，上下袤差四丈，上广袤差三丈，高多上广一十一丈。甲县差一千四百一十八人，乙县差三千二百二十二人，夏程人功常积七十五尺，限五日役台毕。……”所求为观台的长、宽、高。

仰观台实际是一个长方台，即刍童。王孝通先求上宽，相当于以上宽为x，于是下宽为x+2，上长为x+3，下长为x+7，高为x+11。若以V表示台的体积，则根据王孝通的术文。

3x3+51x2+215x=5033。

不过，题中并无设未知数的明确步骤，也没有数学符号。王孝通是通过几何方法，以文字形式建立方程的。至于方程解法，王孝通只说“开立方除之”，估计是用《九章算术》开立方法中求方根第二位及以后各位的方法来求三次方程正根的。为了简化开方程序，王孝通把所有三次方程的最高项系数化为1。经验证，其解答都是正确的。

二、天文历法中的内插法

1.《皇极历》中的等间距二次内插法

在古代，人们把太阳和月亮的视运行都看作匀速的，以此为前提来计算太阳运行和编造历法当然比较简单，但不准确。南北朝的张子信通过长期观察，发现太阳在春分后运行慢，秋分后运行快。这一事实促使人们创立新的方法去计算太阳运行等问题。于是，隋代天文学家、数学家刘焯(544—610)在《周髀算经》中一次内插法的启发下，首先在天文历法中使用等间距二次内插么式，大大提高了计算精度。(www.daowen.com)

刘焯撰成《皇极历》后，于开皇二十年(600)进呈朝廷。虽因保守势力的阻挠，未能颁行，但历中的等间距二次内插法是一项杰出的数学成就。实际上，《皇极历》是当时最先进的一部历法。

刘焯在推算日、月、五星行度时都采用等间距二次内插法，下面以求太阳在黄道上的位置为例说明他的方法。刘焯以时间为自变量，把一年分为24个相等的时间间隔，每个间隔被当作两节气间的时间长度。他认为太阳的运动是匀加速的，因此太阳视行度数便是时间的二次函数，应采用二次内插法。这是一种已经实测了太阳在某些节气的视行度数，求太阳在其他日期视行度数的方法。

后来，唐初李淳风编《麟德历》时曾引用这一点。《麟德历》被颁行全国，广泛采用。印度数学家婆罗摩笈多(约598—660)曾于628年使用类似的等间距二次内插公式计算正弦值，但已在刘焯之后了。

2.《大衍历》中的不等间距二次内插法及正切表

《皇极历》中由于采用了等间距二次内插公式，所以计算结果比以前准确。但这一公式是以各节气时间间隔相等为前提的，实际上二十四节气的时间间隔应该有差别，使用不等间距内插法才更合理，这一工作是由张遂(683—727)完成的。

张遂是唐代一位很有学问的和尚，法名一行。他在天文学和数学方面都有重要贡献，领导过有名的大地测量，在世界上首次实测了子午线长度，还和梁令瓒共同创造了黄道游仪和水运浑仪等大型天文仪器。他在晚年写成的《大衍历》，按不等的时间间隔安排二十四节气，把刘焯的内插公式由等间距推广到不等间距的情形，建立了不等间距二次内插公式。

张遂把《大衍历》呈报朝廷后，因对《大衍历》、《九执历》、《麟德历》等几种历法的优劣有争议，朝廷便令人检验，主要方法是根据各历预报日月交食的时间，然后与实际情况相比较。结果《大衍历》的误差最小，于是向全国颁发。该历所以能达到较高的精度，是与张遂使用不等间距二次内插法分不开的。唐代后期徐昂在制订《宣明历》(公元822年)时，也曾使用张遂的内插公式来计算太阳、月亮的视行度数。

三、唐代中国与其他国家的数学交流

唐代国力强盛，与外界的贸易和文化交流都盛于前代。中国数学通过各种渠道外传，一些外国数学知识也传到中国。

1.中国数学的外传

早在6世纪，中国的算术和历法便已在朝鲜流传。唐朝时期，朝鲜数学受中国影响更加明显，《九章算术》中的二次方程和《缉古算经》中的三次方程都被用到工程建设中，还广泛使用了中国的两个圆周率《九章算术》和《缀术》，考试方法也与中国类似。9世纪，朝鲜曾派大批留学生来中国学习，仅840年一年就有105名朝鲜留学生及其他人员回国，把包括数学在内的中国文化带到朝鲜。

公元702年，日本仿照唐制，建立学校。《九章算术》、《海岛算经》、《周髀算经》、《孙子算经》、《五曹算经》和《缀术》共6种中算书被确定为教科书。9世纪编纂的日本书目中还有《夏侯阳算经》、《张邱建算经》、《五经算术》、《数术记遗》等，可见这些书也传到了日本。在唐代，日本先后19次派“遣唐使”来中国，每次一、二百人，最多时达500人，其中有些人是专门来学习中国历法和数学的。中国的内插法随《大衍历》、《麟德历》、《宣明历》等传入日本，《宣明历》在日本使用时间最长，达800年之久。

中国数学对印度也有影响。例如《孙子算经》中的“物不知数”问题出现在婆罗摩笈多的书中，而摩诃毗罗(即马哈维拉，Ma hāvīra，公元9世纪)的书中则有类似于“百鸡问题”的不定方程。另外，中国的百鸡术及盈不足术、比例算法等也在唐代传到阿拉伯，后来又传到欧洲，对欧洲数学产生了一定影响。

2.印度数学传入中国

隋唐时代，印度数学和佛经一起传入中国。唐朝的司天监里，有不少印度数学家和天文学家任职。瞿坛悉达曾任太史监，于开元六年(718)奉唐玄宗之命将印度《九执历》译成中文。该历中有一些先进的数学知识，例如：(1)印度数码，即现在通用的阿拉伯数码的前身。但中国人惯于筹算，体会不到它的优越性，所以没有采用。(2)分圆周为360度，引起中国人的重视。(3)正弦表。《九执历》中有—张从3°45′到90°每隔3°45′的正弦表，共24个值。