理论教育 《九章算术》及其广泛应用

《九章算术》及其广泛应用

时间:2023-07-07 理论教育 版权反馈
【摘要】:《九章算术》的体例便受到《算术书》的影响。现传本《九章算术》约成书于西汉末年,作者不详,可能经多人之手而成。这些问题按不同的用途分为九卷,故名《九章算术》。实际上,《九章算术》几乎包括了算术中的全部比例内容。盈不足术《九章算术》卷七专讲盈亏问题,解法称为盈不足术。线性方程组《九章算术》中的“方程”,实际是线性方程组。《九章算术》对勾股定理的应用很广泛。

《九章算术》及其广泛应用

一、成书背景

中国数学经过长期积累,到西汉时期已有了相当丰富的内容。除《周髀算经》外,西汉初期出现了第一部数学专著——《算术书》,用竹简写成。全书共60多个标题,如“相乘”、“增减”、“少广”、“税田”、“金价”、“合分”等,标题下列有各种问题。《九章算术》的体例便受到《算术书》的影响。另外,从甘肃居延等地出土的竹简发现,西汉已有初步的负数及比例概念,面积和体积计算的知识也增多了。这些都为我国初等数学体系的形成准备了条件。

《许商算术》和《杜忠算术》是《九章算术》之前不久成书的著作。许商,长安人,公元前32—前8年曾任西汉大司农、河堤都尉等官职。他参加过治水工作,精通天文历法和计算,著《许商算术》26卷。杜忠与许商同时代,著《杜忠算术》16卷。

现传本《九章算术》约成书于西汉末年,作者不详,可能经多人之手而成。它是一部承前启后的著作,一方面总结了西汉及西汉以前的数学成果,集当时初等数学之大成;另一方面又对后世数学发展产生了深远的影响。

二、内容与体例

《九章算术》包括丰富的算术、代数和几何内容,全书共246题,几乎全是应用题。这些问题按不同的用途分为九卷,故名《九章算术》。下面简介各卷内容。

卷一“方田”,38问,主要讲平面图形的计算,包括系统的分数算法

卷二“粟米”,46问,粮食交换中的比例问题。

卷三“衰(cuī)分”,20问,比例算法在分配物资等问题中的应用。

卷四“少广”,24问,开平方、开立方问题。

卷五“商功”,28问,土木工程中的体积计算。

卷六“均输”,28问,主要讲纳税和运输方面的计算问题,实际是比较复杂的比例算法。

卷七“盈不足”,20问,算术中盈亏问题的解法。

卷八“方程”,18问,主要讲线性方程组解法,还论及正负数概念及运算方法。

卷九“勾股”,24问,勾股定理的应用。

书中的各类问题都有统一解法,但没有证明。经后人验证,这些解法的绝大部分是正确的。各法以“术”名之,术文统御习题,这是本书体例的基本特点。例如,方田术“广从步数相乘得积步”,勾股术“勾股各自乘,并而开方除之,即弦”,便分别统御各方田问题及勾股问题。

三、数学成就

1.算术

(1)分数运算

《九章算术》方田章系统给出了分数四则运算法则,以及通分、约分、化带分数为假分数的方法,其步骤与现代一致。

分子、分母有公约数时,可利用公约数来化简分数。《九章算术》提出一种“更相减损”法来求最大公约数:“副置分母子之数,以少减多,更相减损,求其等也。”即用分子和分母中的大数减去小数,互相减,减到余数与减数相等为止,该数便是原来两数的最大公约数。

(2)比例算法

《九章算术》的二、三、六、九各卷中,广泛使用比例算法来解决应用问题,并给出一般法则:“以所有数乘所求率为实,以所有率为法,实如法而一。”

所求数:所有数=所求率∶所有率

书中称该算法为“今有术”,大概是因为这类问题的开头常冠以“今有”二字。例如:“今有丝一斤价值二百四十钱,今有钱一千三百二十八,问得丝几何?”

除了这种最简单的比例问题外,书中还有连比例、复比例、配分法等复杂的比例问题。例如:“今有贷人千钱,月息三十。今有贷人七百五十钱,九日归之,问息几何?”这便是一个复比例问题,其中9日乘750钱为所有数,30钱为所求率,30日乘1000钱为所有率。实际上,《九章算术》几乎包括了算术中的全部比例内容。

(3)盈不足术

《九章算术》卷七专讲盈亏问题,解法称为盈不足术。例如:“人出八盈三,人出七不足四,求人数、物价各多少?”

2.代数

(1)开方

《九章算术》中载有开平方、开立方的方法。例如,欲求55225的平方根,其中55225叫“实”(被开方数),最下面的1叫“借算”,代表最高项系数。此式实际上表示方程

x2=55225。

将“借算”向左移动,每一步移二位,移二步后停住,于是,原方程变为

议得x1大于2小于3,就在实的百位上置2,作为平方根的第一位数。以议得的2乘10000得20000,放在实之下,借算之上,叫法。再以2乘法得40000,从实中减去,余15225。(www.daowen.com)

把法加倍,向右移一位,变为4000,叫定法。把借算向右移二位,变为100,这相当于方程

议得x2大于3而小于4,就以3为平方根的十位数。以3乘100得300,加入定法得4300;以3乘4300,从实中减去,余2325。

再以300与4300相加,得4600,向右移一位变为460,这是第三位方根的定法。把借算向右移二位,变为1,这相当于方程

议得x3=5为平方根的个位,以5乘借算1,加入460得465。以5乘465,从实内减去,恰尽,得55625的平方根235。

从文字叙述来看,筹算开方法似乎很繁,实际摆筹运算是相当简便的。这种方法到宋代发展为增乘开方法,对高次方程解法产生了巨大影响。

(2)正负数

《九章算术》中不仅有正负数,而且还建立了正负数加减法则,即“正负术”。加法法则为:“异名相除,同名相益;正无入正之,负无入负之。”即异号两数相加,绝对值相减;同号两数相加,绝对值相加;0加正数为正,0加负数为负。类似地有减法法则:“同名相除,异名相益;正无入负之,负无入正之。”

(3)线性方程组

《九章算术》中的“方程”,实际是线性方程组。例如卷八第一题:“今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗。问上中下禾实一秉各几何?”(禾即庄稼,秉即捆,实即粮食。)依术列筹式,它相当于三元一次方程组

其中x,y,z分别为上中下三等按《九章算术》解法,用(1)式x的系数3去乘(2)的各项,得

用(4)减(1)二次,得

再用(3)×3,得

(6)减(1),得

这种方法叫“直除法”,即连续相减法。它的原理与现在加减消元法一致,只是比较烦琐。

3.几何

《九章算术》中给出正方形、长方形、三角形、梯形、圆、弓形等常见图形的面积公式。

书中的体积公式很多,包括立方体、长方体、棱柱、梭锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台,其体积公式都与今一致。

《九章算术》对勾股定理的应用很广泛。它首先给出勾股定理的三种形式,然后解决了几十个应用题。例如:“今有圆材不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”以r为圆半径,由勾股定理得

r2=52+(r-1)2

解得r=13,解之即圆径。

在讨论勾股定理的过程中,《九章算术》提供了许多整勾股数,后人在此基础上进一步研究,找到了整勾股数的一般规律。

四、理论特色及意义

如果要找两部在世界上流传最久的古代数学著作,那就是希腊的《几何原本》与中国的《九章算术》,它们都是世界数学史上极为珍贵的文献,分别在西方和东方的数学发展中产生过深远影响。但两书是各有特色的,从中可以看出东、西方数学的差异。

在指导思想上,《九章算术》是把数学当作工具来用的。全书246题,几乎都是与生产、生活实际有关的应用问题,这说明作者在研究数学时,是以应用为目的,不大重视数学体系自身的完善。而《几何原本》则正好相反,全书没有一道应用题,全是“纯粹”的数学问题,表现出作者追求数学自身完善,“为数学而数学”的思想。

从体例上来看,《九章算术》以术文统御习题,以计算为中心;《几何原本》则是一个演绎体系,以证明为中心。

在几何研究方面,《九章算术》把重点放在几何量的研究上,把大量算术及代数知识用于长度、面积和体积计算;《几何原本》则把重点放在图形性质及相互关系的研究上,采用的是比较纯粹的几何方法。

总的来说,《九章算术》与《几何原本》相比,前者以实用性、计算性见长,后者以逻辑性、抽象性取胜。当然,《几何原本》对近代数学发展所起的作用无疑超过《九章算术》,因为它那种逻辑演绎体系更适合于近代数学。但《九章算术》在世界数学史上的地位也是不应忽视的。

《九章算术》的成书,标志着中国初等数学体系的形成。该书包含了丰富的算术、代数和几何内容,形成一个以算筹为计算工具的、有自己特点的完整体系。《九章算术》中的一些成就具有世界水平。比例算法、盈不足术、开平方和开立方、负数的引入及正负数加减法则、线性方程组解法,都是世界上最早提出的。

由于《九章算术》的实用性强,它对当时的社会有很大影响。早在东汉时期,政府就把它当作校对度量衡的数学依据。书中的数学知识被用于解决各种实际问题,例如当时的历法(《四分历》、《乾象历》)便采用了书中的正负数加减法则,田亩测量及土木工程则离不开各种面积和体积公式。

在中国数学史上,《九章算术》的影响是极为深远的。首先,它的体例在一千多年的时间里起到了“示范”的作用。从汉至明,大部分算书遵从《九章算书》的体例。有些甚至直接冠以“九章”之名,如杨辉《详解九章算法》、秦九韶《数书九章》、吴敬《九章算法比类大全》等。其次,《九章算术》重应用、重计算的特点被后世数学家所继承,形成中国古代数学的传统,即从实际问题出发,寻求数学解决办法。最后,《九章算术》中的许多理论,直接为中国数学的发展奠定了基础。如开方法对于高次方程,线性方程组对于四元术,都有一定的奠基作用。

自隋唐至宋,《九章算术》曾长期作为中国的数学教科书。实际上,《九章算术》成书后,历代研究数学的人几乎没有不读该书,不从中吸取营养的。它对于培养数学人才具有不可忽视的价值。

《九章算术》传到日本、朝鲜等东方国家后,也曾被当作教科书使用。越南的数学家在研究此书的基础上,写出若干书名冠以“九章”的数学著作。《九章算术》的某些内容还曾传到印度和阿拉伯国家,并辗转传到欧洲,对世界数学的发展起了一定作用。例如《九章算术》勾股章中的一些问题几乎原封不动地出现在后来的印度数学著作中,盈不足术与比例算法也先后传入阿拉伯和欧洲。

免责声明:以上内容源自网络,版权归原作者所有,如有侵犯您的原创版权请告知,我们将尽快删除相关内容。

我要反馈