在对排队系统的研究中，服务时间的分布通常采用负指数分布来描述，而且顾客到达过程为泊松过程时，顾客相继到达的间隔时间也为负指数分布。所以，负指数分布在排队系统的分析中有着重要的作用。

负指数分布指随机变量T的概率密度为

其分布函数为

负指数分布具有下列性质：

(1)由条件概率公式容易证明

该性质称为无记忆性或马尔柯夫性。若T表示排队系统中顾客到达的间隔时间，那么该性质说明一个顾客到来所需的时间与过去一个顾客到来所需的时间无关，所以说这种情况下顾客到达是纯随机的。

(2)当输入过程是泊松过程时，顾客相继到达的间隔时间T必服从负指数分布，这是因为对于泊松过程，在[0,t)区间内至少有1个顾客到达的概率是

即(www.daowen.com)

对一顾客的服务时间也就是在忙期相继离开系统的两顾客的间隔时间，有时也服从负指数分布，这时设它的分布函数和密度分别是

当考虑k个串列的服务台时，若每台服务时间相互独立，服从相同的负指数分布（参数为kµ），则一个顾客走完这k个服务台总共所需要的服务时间就服从k阶爱尔朗（Erlang）分布。

设v1,v2,···,vk是k个相互独立的随机变量，服从相同参数kµ的负指数分布，那么T=v1+v2+···+vk的概率密度为

其均值与方差分别为

图11-4为µ=1，k=1,2,3时爱尔朗分布的密度函数形态。爱尔朗分布提供了更为广泛的模型类，比指数分布有更大的适应性。当k=1时，爱尔朗分布即为负指数分布，这可看成是完全随机的；当k增大时，爱尔朗分布的图形逐渐变为对称的；当k≥30时爱尔朗分布近似于正态分布；当k→∞时，Var[T]→0，这时爱尔朗分布转化为确定型分布。因此一般k阶爱尔朗分布可看成完全随机与完全确定的中间型，能对现实世界提供更为广泛的适应性。

图11-4　µ=1时的k阶爱尔朗分布